Применение производной при решении задач в школьном курсе математики. Решение неравенств

Наименьшим значением функции на этом промежутке является f(/4)=0.Следовательно,f(a)0 при 00, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a0 функция f возрастает, а при x>ef/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=ef принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (lnx)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от – до 1/е.Аналогично, на промежутке [e,) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:1. Если 0a>e, то ab>ba.Таким образом, если (a,b) является решением уравнения ab=ba , то 1e. Более того, при каждом фиксированном значении 1e такое, что ab=baДля ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b= и воспользоваться утверждением (1). Итак, e > e . Задача 3 решена.Задача 1.4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.Решение.Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn’. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то Приравнивая n-е члены прогрессий, находимТогда , где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что , где n>2, q>1 (2)При n=3 имеем , что равносильно очевидному неравенству . Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. ИмеемДля завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной.Пусть Производная положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 4 решена.3.2 Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенствТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:[a,b]R удовлетворяет условиям:1) fC[a,b]; 2) x(a,b) существует f/(x); 3) f(a)=f(b). ТогдаC(a,b): f/(C)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной. ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a,b]R удовлетворяет условиям:1) fC[a,b]; 2) x(a,b) существует f/(x). ТогдаC(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a). Отношение (f(b)-f(a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f(C)) параллельна секущей.Следствие 1. Пусть функція f:[a,b]R имеет производную f/ на (a,b) іx(a,b) f/(x)=0. Тогда для некоторого L R x(a,b) f(x)=L. Следствие 2. Функции f:[a,b]R, g:[a,b]R имеют произодныеіf/ и g/ на (a,b) и x(a,b) f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа L R x(a,b): f(x)=g(x)+L. Следствие 3. Пусть функция f:[a,b]R имеем производную f/ на (a,b) и для некоторого L R x(a,b) f/(x)=L. Тогда для некоторого M R x(a,b): f(x)=Lx+M. ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f:[a,b]R, g:[a,b]R удовлетворяют условиям: 1) f, gC[a,b]; 2) x(a,b) существуют производныеіf/ и g/ ; 3) x(a,b) g/(x)0. ТогдаіC(a,b): (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C). Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши при g(x)=x, x[a,b].Задача 1.5. Доказать, что для любых x, y R: sinx – sinyx–y; x, y R: cosx – cosyx–y; x, y R: arctgx – arctgyx–y;x, y [1; +): x – y 0.5x–y.Доказательство этих неравенств аналогичное. Поэтому рассмотрим доказательство первого неравенства. Пусть, например x0. По теореме Лагранжа для функции f(u)=eu, u[0,x],C(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, так как eC>1 для C>0. Если x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, u[x,0]. Имеем C(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0, а eC<1 для C<0. Таким образом, при x0 имеем ex > 1+x.Задача 1.7. Доказать, что для любого x >0: ex>1+x+(x2/2).Для доказательства неравенства применим теорему Коши к функциямf(u)=eu, g(u)=1+u+(u2/2), u[0,x]. Получим C(0,x): (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c). Учитывая доказанное неравенство, найдем (ex-1)/(x+(x2/2))>1, откуда ex>1+x+(x2/2).Задача 1.8. Доказать, что для 0 (2/)x.Пусть f(x)=(sinx)/x (0f(/2)=2/, если 00 выполняется cosx >1–(1/2)x2. Функция f(x)=cosx –1+(1/2)x2 равна 0 при x=0. Ее производная, при x>0, f/(x) = –sinx+x>0 (или sinx< x). Т.е., функция f(x) для x0 возрастающая, а при x<0 будет f(x)>f(0)=0, т.е. cosx>1–(1/2)x2.Отсюда, аналогично при x>0 получим sinx>x–(1/6)x3. Задача 1.10. Доказать, что при 0 x+(1/3)x3. Для этого достаточно установить, что для указанныхx производная функции tgx–x–(1/3)x3, равна sec2x–1–x2, положительна, т.е. что tg2x – x2>0, а это приводит к известному неравенству tgx>x.Задача 1.11. Доказать, что при x>0 выполняется lnx x-1.Так как функция f(x)=lnx–x (x>0) имеет производную f/(x)=(1/x)–1 > 0 (при 01), то функция возрастает пока x изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке [1;+). Отсюда получаем, что f(1)=–1 будет наибольшим значением функции, так что для x>0 выполняется lnx x-1.Список литературыБугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика (в 3-х томах).Том 2; М.: Дрофа, 2007 г. – 510 с.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике; Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1967 г. – 947 с.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление (в 2-х томах). Том 1; M.: Интеграл-пресс, 2005. – 416 c.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах). Том 2; М.: Физматлит, 2001 – 810 с.Шипачев В.С. Высшая математика; М.: Высшая школа, 2010. - 480c.