Элементы математической логики

Квантор сочетается с логической связкой [2].Квантор существованияПусть – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, истинное, если найдется хотя бы одно х, при котором – истина, и ложно, если при любом х, – ложно. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующие ему словесные выражения звучат так: существует х, при котором истинно; существует такое х, что ; иногда верно; можно найти такое х, что ; Р верно при некоторых х.Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором.Квантор сочетается со связкой & [2].Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат. Применение кванторной операции к предикату по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат (или одноместный предикат), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:; ; ; . Приведем примеры: пусть на множестве Nнатуральных чисел задан предикат : «Число х кратно 5». Используя кванторы можно получить: – «Все натуральные числа кратны 5» или – «Существует натуральное число, кратное 5» [2].Применение математической логики в алгоритмизации, теории автоматов, языках и грамматикеВ конце XIX века теоретико-множественный подход позволил возвести математику на прочном, и, казалось, надежном фундаменте – канторовой теории множеств. Но на рубеже XIX и XX веков обнаружилась противоречивость данного подхода – были открыты так называемые парадоксы теории множеств [4]. Многими математиками это было воспринято как кризис, который ставил под сомнение надежность методов математики, всегда считавшейся достовернейшей из наук [7].Вскоре возникла новая область научных исследований «на стыке» математики и философии – основания математики. Главным инструментом новой научной области стала математическая логика, развитие которой стало актуальной задачей.Вычисления и всевозможные формальные выкладки также были подвергнуты анализу. В результате этого анализа возникла теория алгоритмов, котораястала составной частью математической логики.Начиная с конца 1930-х годов, идеи и методы математической логики начали активноиспользоватьсядругими науками [7].Технический аппарат математической логики получил свое распространение в конструировании и эксплуатации различных автоматических устройств, и в вычислительных машинах. Идеи и методы теории алгоритмов применяются там где, необходима автоматическая переработка информации (информатика, программирование), а также автоматизация процессов управления (кибернетика) [7].Стоит отметить, чтотеория алгоритмовтесно связана с теорией автоматов. Это объясняется тем, что автомат преобразует дискретную информацию по шагам в дискретные моменты времени, и формирует результирующую информацию по шагам заданного алгоритма. Эти преобразования возможны с помощью технических и/или программных средств. Автомат можно представить как некоторое устройство (чёрный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. При анализе автоматов изучают их поведение при различных возмущающих воздействиях и минимизируют число состояний автомата для работы по заданному алгоритму. Такой автомат называют абстрактным, т.к. абстрагируются от реальных физических входных и выходных сигналов, рассматривая их просто как буквы некоторого алфавита и в связи с идеализированным дискретным временем (здесь явно прослеживаются такие математические конструкции теории алгоритмов, как машина Тюринга и Поста) [6]. В лингвистике (языковедении)в первой половине XX века произошли революционные изменения. Возникла необходимость вразработке математических методов исследования строения языка. Математический аппарат для лингвистики предстояло создать заново, так как своеобразие языковых явлений делало невозможнымиспользование готового математического аппарата, предназначенного для других целей.Это было сделано в 50–60-е годы, когда появилась новая математическая дисциплина – математическая лингвистика, занимающаяся разработкой и изучением математического аппарата для описания естественного языка. Главными источниками идей и методов этой новой науки были математическая логика и абстрактная алгебра. Центральное место в математической лингвистике занимает теория формальных грамматик, родственная теории алгоритмов и имеющая с ней много точек соприкосновения. Математическая логика влияет на современнее языковедение не только через математическую лингвистику, но и через основные понятия математической логики – предикаты, кванторы, пропозициональные связки.«Математико-логический дух» все больше проникает в лингвистические теории и исследования. Значение математической логики важно для лингвистики тем, что язык математики представляет собой фрагмент естественного языка, обработанный и развитый специальным образом с целью обеспечить максимальную точность. Поэтому, когда лингвистике потребовались точные методы, аппарат математической логики мог служить образцом для их создания [7].ЛитератураНепейвода Н.Н. Прикладная логика/ Н.Н. Непейвода. – Изд. НГУ, 2000. – 494 с.Шатурная О.С. Математическая логика и теория алгоритмов. Конспект лекций/ О.С. Шатурная – Саратов.: СГТУ, 2003. – 26 с.Шевелёв Ю. П.Дискретная математика/ Ю. П.Шевелёв. – Томск, 2003. – 119с.Википедия. Интернет [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL:http://ru.wikipedia.org/wikiМатематический форум Math Help Planet. Приложение алгебры высказываний к доказательству теорем. Интернет [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://mathhelpplanet.comКаширин И. Теория автоматов. Интернет [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL:http://teorya.hut.ru/page2.htmОбласти применения математической логики. Интернет [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL:http://ulfek.ru/