Вычисление определённых интегралов по формуле трапеции.
Заказать уникальную курсовую работу- 17 17 страниц
- 8 + 8 источников
- Добавлена 10.04.2014
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение 3
1 Формула трапеций 5
1.1 Вывод основной формулы 5
1.2 Геометрический смысл формулы трапеций 6
1.3 Оценка погрешностей 7
2 Применение формулы трапеций для вычисления определенных интегралов 10
Заключение 15
Список используемой литературы 17
То есть .Пусть по формуле трапеций вычисляется интеграл Требуется оценить погрешность формулы при n=5 и n=10.Для оценки погрешности формулы вновь используем результаты доказанной теоремы. А именно, то, что погрешность оценивается по следующей формуле: .Функция имеет непрерывную на вторую производную . Значит результат теоремы можно смело применять в нашем случае. Число .Следовательно, погрешность формулы трапеции при .Следовательно, формула обеспечивает верные разряды слева от разряда десятых долей. При .В этом случае верные разряды те же, что и в случае n=5.Таким образом, чем больше , тем меньше погрешность формулы трапеций.Определим на сколько частей необходимо разбить отрезокдля того, чтобы при вычислении интегралаформула трапеций обеспечила точность до.Нужно найти такое число , что для любого будет выполнено.Отсюда можно найти условие на:Можно утверждать, что если выполнено условие: , то при вычислении указанного интеграла формула трапеций будет обеспечивать указанную точность. Следовательно, формула трапеций позволяет вычислять определенные интегралы со сколь угодно высокой наперед заданной точностью.ЗаключениеВ математических приложениях часто встречаются различные задачи на вычисление определенных интегралов, причем очень часто бывает так, что подынтегральная функция не имеет первообразной, которая выражалась бы в элементарных функциях. Бывает также, что вычисление определенных интегралов весьма затруднительно и требует большого количество времени. Также иногда приходится сталкиваться с функциями, которые заданы таблично, то есть с функциями, аналитический вид которых не известен.Это, конечно же, вызывает трудности при работе с подобными математическими объектами. Тем не менее, существуют различные приближенные методы вычисления определенных интегралов. Одним из таких методов является метод, основанный на формуле трапеций. Сам по себе определенный интеграл от произвольной непрерывной функции можно понимать как ориентированную площадь криволинейной трапеции. В связи с этим основная идея метода заключается в замене задачи вычисления площади криволинейной трапеции на задачу вычисления суммы площадей прямоугольных трапеций. Последняя задача, очевидно, намного проще. Формула трапеций позволяет приближенно вычислять интегралы от функций, не имеющих первообразных, выражающихся в элементарных функциях. Также она позволяет вычислять и интегралы от функций заданных таблично.Погрешность формулы трапеции можно оценить для класса дважды непрерывно дифференцируемых функций. В случае таких функций погрешность обратно пропорциональна квадрату числа узлов разбиения. Данный факт позволяет увеличивать точность вычисления интеграла за счет уменьшения шага разбиения. Можно добиться сколь угодно высокой точности вычисления. Таким образом, можно заключить, что метод вычисления определенных интегралов, основанный на формуле трапеций, является эффективным инструментом, позволяющим избежать трудностей при подсчете сложных определенных интегралов.Список используемой литературы1. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. 2. Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. — М.: Наука, 1966; Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962. 3. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Просвещение, 1972. 4. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Просвещение, 1972. 5. Вычислительная математика / Н.И.Данилина, Н.С.Дубровская, О. П. Квант, ГЛ. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1985. 6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.7. В.А. Зорич. Математический анализ. Том 1. – М.: Фазис, 19978. Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика группы Педагогические специал. - М.: Академия, 2003
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.
2. Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. — М.: Наука,
1966; Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962.
3. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Просвещение, 1972.
4. Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Просвещение, 1972.
5. Вычислительная математика / Н.И.Данилина, Н.С.Дубровская,
О. П. Квант, ГЛ. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1985.
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. —
М.: Наука, 1970.
7. В.А. Зорич. Математический анализ. Том 1. – М.: Фазис, 1997
8. Исаков, В.Б. Элементы численных методов: Учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности Математика группы Педагогические специал. - М.: Академия, 2003
Вопрос-ответ:
Как вычислить интегралы по формуле трапеции?
Для вычисления интегралов по формуле трапеции необходимо делить интервал интегрирования на n равных частей, где n - количество трапеций. Затем на каждом интервале находим значение функции в двух точках, которые определяют вершины трапеции, и считаем площадь каждой трапеции. После этого суммируем площади всех трапеций и получаем значение интеграла.
Какой геометрический смысл у формулы трапеций?
Геометрический смысл формулы трапеций заключается в том, что она позволяет приближенно вычислить площадь под графиком функции на заданном интервале. Формула трапеций использует трапеции для приближения подграфика функции. Чем больше количество трапеций, тем точнее будет приближение.
Как оценить погрешность формулы трапеций?
Погрешность формулы трапеций может быть оценена с использованием формулы для остаточного члена приближенного интеграла. Также можно использовать теорему оценки погрешности для формулы трапеций, которая говорит нам, что погрешность пропорциональна шагу разбиения интервала интегрирования.
Как применить формулу трапеций для вычисления определенных интегралов?
Для вычисления определенных интегралов с использованием формулы трапеций необходимо сначала определить функцию, для которой нужно вычислить интеграл, а затем задать границы интервала интегрирования. После этого можно применить формулу трапеций, разделив интервал интегрирования на n частей и вычислив площадь каждой трапеции. После суммирования всех площадей получим значение интеграла.
Как оценить погрешность формулы трапеций при n = 5 и n = 10?
Для оценки погрешности формулы трапеций при n = 5 и n = 10 можно использовать результаты доказанной теоремы. Эта теорема говорит о том, что погрешность формулы трапеций пропорциональна шагу разбиения интервала интегрирования. Таким образом, при увеличении количества трапеций погрешность будет уменьшаться. При n = 5 погрешность будет больше, чем при n = 10.
Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеции?
Для вычисления определенного интеграла по формуле трапеции необходимо разделить интервал интегрирования на некоторое количество равных частей, затем в каждой части построить трапецию, заменив исходную функцию на линейную функцию, проходящую через две соседние точки разбиения, и вычислить площадь каждой трапеции. Затем необходимо сложить площади всех трапеций, полученных на интервалах интегрирования, и умножить сумму на ширину каждой трапеции, то есть на длину каждого интервала разбиения.
Каким образом выводится основная формула вычисления определенного интеграла по формуле трапеции?
Основная формула вычисления определенного интеграла по формуле трапеции выводится следующим образом. Разобьем интервал интегрирования на n равных интервалов шириной h, где h = (b - a) / n, где a и b - границы интервала. Затем заменим исходную функцию f(x) на линейную функцию, проходящую через точки с концами каждого интервала разбиения, и представим интеграл как сумму площадей трапеций, ограниченных линейными функциями. Основная формула будет иметь вид: In = (h/2) * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn)), где In - приближенное значение интеграла, f(x0), f(x1), ..., f(xn) - значения функции в узлах разбиения.
Какой геометрический смысл имеет формула трапеций для вычисления определенных интегралов?
Геометрический смысл формулы трапеций заключается в следующем. При вычислении определенного интеграла по формуле трапеции мы заменяем исходную функцию на линейную функцию, проходящую через точки с концами каждого интервала разбиения. Далее, вычисляем площадь каждой трапеции, ограниченной этой линейной функцией и двумя параллельными сторонами на границах интервалов разбиения. Итоговое значение интеграла представляет собой сумму площадей всех этих трапеций. Формула трапеций позволяет аппроксимировать значение интеграла с помощью площадей трапеций.
Как вычисляется определенный интеграл по формуле трапеции?
Определенный интеграл по формуле трапеции вычисляется по следующей формуле: S = (b - a) * ((f(a) + f(b)) / 2), где a и b - начальная и конечная точки интервала интегрирования, f(x) - подинтегральная функция.