Становление численных методов и их практическое использование (в контексте разностных уравнений)

Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:
, (3)
и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx=vxdt, получим:
, или (4)
Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):
(5)
Разделив переменные в (4), получим:
,
вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I):
(6)
Выразив отсюда vx, будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I):
(7)
Заменяя теперь в (7) :
,
мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I):
(8)
Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I):
(9)
Вычисляя интегралы в (9), получим:
(10)
- частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x, получим частное решение уравнения (8):
, (11)
которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x, (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8) [2, с. 110].
 Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .
Решение:
Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:

Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:
(1)
Здесь учтено, что центростремительное ускорение:
,
а проекция:
.
Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной - перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :
(т.к. )
С учетом этой замены перепишем (1):
(2)
Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:
(3)
Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I), в котором независимой переменной вместо t является ; неизвестной функцией вместо ;
; .
Уравнение (3) дополняется начальным условием:
(4)
С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I), решение уравнения (3) можно записать в виде:
(5)
Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:
(6)
По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле .
Подставляя вместо в (6) выразим оттуда :
(7)
Значение угла можно выразить через , поскольку ; то из уравнений (2) получим:
(8)
Отсюда: ;
(9)
Учитывая, что
;
из (7) будем иметь:
(10)
Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость не превосходила значение, определенного в (10) [3, с. 42].
 
Заключение

Таким образом, можно подвести следующие итоги и сделать обобщения по работе в целом.
Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем движении прошла три этапа:
I. Первый этап начался 3-4 тысячи лет назад. Он был связан с несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Например, ведение конторских книг, вычисление площадей и объемов, расчетами простейших механизмов. Вычислительные средства- палочки, пальцы, камешки и вершина- счеты.
II. Второй период начался с Ньютона. В этот период решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычислительные средства- таблицы элементарных функций, арифмометры и логарифмические линейки.
III. Третий период начался примерно с 1940 года. Толчком к развитию прикладной математики послужили военные задачи, требующие высокой скорости и решения задач. Появились электронные вычислительные машины.
Развитие численных методов связано, прежде всего, с бурным развитием средств вычислительной техники, позволившим расширить использование математических методов во многих областях науки и техники. Появилась возможность решать такие задачи, которые ранее не могли быть решены вручную.
В работе также была раскрыта и обоснована значимость численных методов и их практическое использование в контексте разностных уравнений.
 Для численного решения задач математической физики обычно применяется метод конечных разностей или метод сеток. Он позволяет свести решение дифференциальных уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.
Существуют некоторые математические и технические задачи, которые непосредственно приводят к разностным уравнениям, но главный их источник - разностные методы решения дифференциальных уравнений математической физики.
Во многих областях механики часто используются численные и эмпирические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль разностных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести разностное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.
Разностные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, а также астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме разностных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.
В работе были раскрыты этапы становления численных методов, а также разностных уравнений.
Таким образом, в ходе данной работы мы выявили, что численные методы имеют огромное значение для различных областей науки.
Список используемой литературы

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -348 с.
Васильева А. В., Медведев Г. Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 432 с.
Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат, фак. / Н. Я. Виленкин, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов.— М.: Просвещение, 1984. — 176 с.
Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 288 с: ил.
Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 384 с.
Калинин В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (пособие для практических занятий). – ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. – 68 с.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. Теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория устойчивости - М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 240 с.
Кузмин М.А., Лебедев Д.Л., Попов Б.Г. Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 344 с.
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с: ил.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с.
Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. - 240 с.














2