Нормальное распределение (закон Гаусса) в теории надежности технических систем

Время отказаfэкс (t)1220,0011307931810,0010454522160,0009979012940,0008995684160,0007648304910,0006922205110,0006740496070,0005932556970,0005263287150,0005138778520,0004282799350,0003835179910,00035599110080,00034803210560,00032650811500,00028813611510,00028775411970,00027067612030,00026852512450,0002539365) По полученным значениям функций распределения построим графики:Fусеч (t), Fнорм(t) и Fэксп(t)Как видно из рисунка, наиболее близкой к графику, построенному по опытным значениям, является график плотности распределения для усеченного нормального закона, построенного по аппроксимирующим зависимостям.6) Величина общей суммы квадрата отклонения между полученной функцией распределения и аппроксимирующими: Время отказа(Fопыт- Fэкс)2(Fопыт- Fусеч)2(Fопыт- Fнорм)21220,00238820,002431480,0024942181810,00979200,009821550,0099849752160,02220160,022190840,0224739932940,03964090,039451160,0399538314160,06211820,061519450,0624174804910,08958510,088611730,0898831745110,12202860,120818470,1223585516070,15952580,157796520,1598146436970,20202660,199850290,2022771427150,24948640,247036890,2497508548520,30202910,299341680,3022317689350,35953990,356839460,3597344429910,42203730,419361090,42223634210080,48951290,486722440,48972474310560,56201030,559319270,56223293911500,63953910,637339840,63977672311510,72201090,719681710,72226346411970,80951290,807413960,80978299312030,90198990,899823780,90227543812450,99949220,997566220,999795805Сумма 7,16646797,132937837,171463518Таким образом, Sнорм > Sэкс > Sусеч – 7,171463518 > 7,1664679 > 7,13293783, то есть нормальный закон распределения наилучшим образом описывает результаты испытаний, после идет экспоненциальный.Критерий Колмогорова λ = Д × (N)1/2, где Д - модуль максимального расхождения двух функций (теоретической (аппроксимирующей) и экспериментальной), N- число испытаний, в данном случае равен 20. Значения Д приведены в таблице.Время отказа|Fопыт- Fэкс||Fопыт- Fусеч||Fопыт- Fнорм|1220,04886920,049310040,049942141810,09895450,099103730,099924842160,14900210,148965890,149913292940,19910040,198623150,199884554160,24923520,248031150,249834914910,29930780,297677230,299805235110,34932590,347589510,349797876070,39940670,397236100,399768246970,44947370,447046180,449752317150,49948610,497028060,499750798520,54957170,547121270,549758619350,59961650,597360410,599778669910,64966440,647580960,6497971610080,69965190,697654900,6998033610560,74967350,747876510,7498219411500,79971190,798335670,7998604411510,84971220,848340560,8498608511970,89972930,898562160,8998794312030,68147500,948590420,9498818012450,99974610,998782370,99989789Максимальное расхождение0,9974610,998782370,99989789Как видно из таблицы минимальное расхождение характерно для экспоненциального закона. Найдем критерий Колмогорова, для этого подставим полученное значениемодуля максимального расхождения (см. таблицу) в выше приведенную формулу: λ(Fэкс)= |Fопыт- Fэкс| × (N)1/2 =0,997461 × (20)1/2 = 4,46078; λ(Fусеч)= |Fопыт- Fусеч| × (N)1/2=0,99878237 × (20)1/2 = 4,46669; λ( Fнорм)= |Fопыт- Fнорм| × (N)1/2 =0,99989789 × (20)1/2 = 4,471679. Р(λ)норм. = 0,23N(t+Δt) –N(t) 0 249  498  747  996 1245 t7) Следовательно, нормальный закон распределения наилучшим образом описывает результаты испытанийЗаключениеПроверка на нормальность имеет особое значение. Не секрет, что ошибки измерений, связанные с приборами, построенными на конкретных физических принципах, далеко не всегда описываются нормальным законом [5]. Поэтому следует ожидать, что не всегда измерения контролируемого показателя будут подчиняться нормальному закону. И если так окажется, то применение классического аппарата, используемого при статистическом анализе результатов измерений или при статистическом управлении качеством, может оказаться некорректным.Реальные данные в приложениях (характеристики показателя процесса), как правило, фиксируются с ограниченной точностью, определяемой либо заданием технических условий, либо единицей шкалы измерительного прибора, либо условиями фиксации наблюдения, то есть данные оказываются поразрядно группированными. Это может оказывать серьезное влияние на оценки вычисляемых моментов и значения статистик, а, следовательно, приводить к неверным выводам даже при формировании оценок по выборкам достаточно большого объема.Относительно большинства критериев, регламентированных стандартом, однозначно можно утверждать, что они весьма чувствительны к наличию аномальных наблюдений в связи с использованием оценок вторых, третьих и четвертых центральных моментов: оценки центральных моментов не являются робастными. Это означает, что отклонение гипотезы о нормальности может быть связано с наличием в рассматриваемой выборке аномальных наблюдений. Отсюда следует, что ограничение проверки нормальности использованием только перечня критериев, указанных в стандарте, не всегда обеспечивает корректности выводов о принадлежности (или  непринадлежности) выборки нормальному закону. Они не всегда оказываются наиболее мощными. Недостатком критериев Шапиро-Уилка, Эппса-Палли и критерия со статистикой при малых объемах выборок является то, что они обладают пониженной мощностью по отношению к законам, более плосковершинным по отношению к нормальному (не могут различить). Для проверки нормальности целесообразно рекомендовать применение критерия со статистикой  (целесообразно его включение в ГОСТ). Абсолютно не вредно из практических соображений в дополнение использованию рассмотренных критериев проверить принадлежность наблюдаемых данных к нормальному закону с использованием непараметрических критериев согласия и критериев согласия типа .Список литературыБольшев Л.Н., Смирнов Н.В.. Таблицы математической статистики. М.:Наука, 1983. Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. – М. : Наука, 1984. – 472 с. Боровков А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. – М. : Наука, 1976. – 354 с.Воскобойников Ю. Е. Математическая статистика : учеб. пособие / Ю. Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко. – Новосибирск : Наука, 1996. – 99 с. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман. – М. : Высш. шк., 1979. – 400 с. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 1997. – 479 с. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И.. Математическая статистика: Учеб.пособие для вузов.М.: Высш. школа, 1984Тимошенко Е. И. Теория вероятностей : учеб. пособие / Е. И. Тимошенко, Ю. Е. Воскобойников. Новосибирск : НГАС, 1998. – 68 с.