Распределение простых чисел

В интервале от 1 до 100 есть 25 простых; а в периоде от 401 до 500 – 17; а в период от 901 до 100 — 14. Число простых в каждом блоке из сотни чисел убывает. Если продлить список, включая все простые числа от 1 до 106, то выясняется, что в последнем блоке из 100 чисел всего лишь 8 простых. А если продлить до 1012, то при подобной ситуации из 100 чисел нашлись бы только 4 простых, а именно 999 999 999 937, затем 999 999 999 959, затем 999 999 999 961 и заключительное: 999 999 999 989.
То есть, можно предположить, что простые числа исчезнут до конца. При этом, продолжая список от 0 до +∞, сумеем ли достичь точки, за пределами которой простых чисел не существует?
Ответ на это около 300 года до н.э дал Эвклид. Он открыл, что простые числа не исчезают до конца и не существует максимального простого числа. Какое простое большое число бы не брал исследователь, всегда найдется большее. Простые числа продолжаются до бесконечности.
Доказательство. Пусть число N — простое. Образуем еще число: (1×2×3×…×N ) + 1. Оно всецело не делится ни на одно из чисел от 1 до N — в остатке остается всегда единица. То есть, либо оно не имеет собственных делителей, либо наименьший из простых его делителей — определенное число, большее N. Это и есть доказательство, так как наименьший собственный делитель любого числа с необходимостью есть простой, и просто в противном случае он бы имел меньший делитель. Например, если N=5, то 1×2×3×4×5 + 1 равно 121, и наименьший простой делитель этого числа это 11. В любом случае это будет максимальное простое.
Теперь можно рассмотреть и саму теорему.
Теорема о распределении простых чисел выглядит следующим образом:


Естественно, это утверждение правдоподобно. Во время исследований такой результат является весьма важным. Это – Теорема о распределении простых чисел. В специальной литературе используют нередко аббревиатуру «ТРПЧ».
Для выведения необходимых следствий, для начала отметим, в логарифмическом смысле в процессе работы со всеми числами, включая некоторое большое N, максимальное количество из них можно сравнивать по величине с самим N.
В пределах интервала от 1 до N существует такое N/ ln N (простые числа), то при этом средняя плотность простых чисел равна 1/ln N. Число простых в каждом блоке из 100 чисел, предшествующих 100, 500, 103, 106, 1012. Их результаты таковы: 25, 17, 14, 8 и 4. То есть, значения выражения 100/ln N (т.е. его значения при N = 100, 500 и т.д), имея точность ближайшем целым числа это: 22, 16, 14, 7 и 4. Иначе выражая то же самое выражение — это утверждение того, что в пределах весомого числа N вероятность появления простого числа составляет ~ 1/ln N .
Если пустить вперед грубую логику, весьма успешно возможно оценивать величину N- го простого числа. Если рассмотреть отрезок числового ряда в периоде от 1…..K для некого большого числа K . Если этот интервал есть простые числа, то в среднем можно ждать, что 1 простым из них буде являться число К:C , а 2-м — число 2K:C , 3-м — 3K:C и так далее. N-е простое число будет находиться в пределах некого числа NK:C , а C- е (иначе выражаясь, в этом интервале, последнее простое число) получится в пределах некого числа K:C ,и, естественно, будет равно просто K . И вот, если верна ТРПЧ, то количество простых чисел C определяется неким выражением К/ ln K , а так можно заключить, что N- е простое число в реальности можно встретить в районе числа NK:(К/ ln K) , то есть, иначе выражаясь, в районе числа N ln K . Так как максимальное количество чисел в этом интервале можно сравнивать по величине только с числом K , то в таком случае возможно замена мест N и K , а в связи с этим следует N-е простое число за величиной ~ N/ ln N . Возможно, что такое рассуждение может показаться на первый взгляд не совсем корректным, но в реальности только оно даст адекватную оценку, и она в довесок станет давать более качественные результаты. Такое оценивание предрекает, что простое по триллионному количеству число будет составлять 27 631 021 115 929, а по правде триллионное простое число – это 30 019 171 804 121, то есть ошибка составляет 8%. Процентное выраженные ошибки до числа 103, 106, 109 простого числа соответственно равняются 13, 10 и 9.

Следствия из теоремы таковы .

Вероятность фактора, что N простое число, сосавляет примерно  1/ln N . То есть, логично заключить, что
N -е простое число ~ N ln N.

Такие результаты являются не только следствием из данной теоремы; она также является следствием из них. Если при помощи математики можно провести доказательство их справедливости, то в следствием будет являться сама теория распределения простых чисел. Эти результаты (каждый из них) равносильны требованиям теории, и , следовательно они есть ее альтернативная формулировка.

ВЫВОДЫ
Итак, «формула простого числа» является, как правило, либо аналитическим выражением, которое позволяет вычислить значения pn или π(х)5, либо алгоритм, с помощью которого можно найти эти величины существенно быстрее, чем при использовании известного с III века до н. э. метода решета Эратосфена.
Простые числа можно также представлять комбинацией арифметических прогрессий либо логических выражений, что крайне удобно для программирования [2]. Таких комбинаций очень большое количество, вплоть до бесконечности. Но каждая из комбинаций систем алгебраических уравнений позволяет только единственное представление простого числа при заданной разности прогрессий задающих ряды простых и составных чисел.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Прахар К. Распределение простых чисел.: М., Мир, 1967 г. – 512 с.
Зенкин В.И. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008. - 158 стр.
Ингам А.Е. Распределение простых чисел. М. -Л.: ОНТИ, 1936. - 160 с
Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. Монография. Перевод с. англ.: Бегунец А.В., Вегнер Я.В., Кнотько В.В., Преображенский С.Н., Сергеев И.С. М.: УРСС: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 664 с.
Дербишир Д. Простая одержимость.М.: изд-во "Астрель", 2010 г. — 275 с.









20