Нечеткие множества

Первый подход к решению данной проблемы предложил Л.Заде. Его отправной точкой является определение нечеткого события, которое представляет собой нечеткое множество A в X = {x} = {x1,…, xn} с соответствующей функцией принадлежности. При этом можно предположить, что вероятности (четких) элементарных событий x1,…, xn ∈ X равны и известны, следовательно, p(x1),…, p(xn) ∈ [0, 1], при этом p(x1) +…+ p(xn) =1.
Среди самых важных понятий и показателей, которые описывают нечеткие события, представим следующие:
Нечеткие события A и B в X независимы тогда и только тогда, когда
p(AB) = p(A)p(B).
Условную возможность нечеткого события A в X при условии наступления нечеткого события B в X будем обозначать p(A | B) и определим как:

Если нечеткие события A и B независимы, то
p(A | B) = p(A).
Отметим, что оба приведенных определения аналогичны их четким аналогам.
Четкая вероятность нечеткого события A в X = {x} = {x1,…, xn} обозначается p(A) и определяется как:

т.е. как ожидаемое значение функции принадлежности нечеткому множеству A, с функцией принадлежности µА(x).
Пример. Пусть X = {1, 2,…,5}, p(x1) = 0.1, p(x2) = 0.1, p(x3) = 0.1, p(x4) = 0.3, p(x5) = 0.4 и A = 0.1/2 + 0.5/3 + 0.7/4 + 0.9/5.
Тогда
p(A) = 0.1 × 0.1 + 0.1 × 0.5 + 0.3 × 0.7 + 0.4 × 0.9 = 0.73
Главными свойствами вышеописанной вероятности наступления нечеткого события в смысле Л.Заде [2] являются следующие:

Отметим также, что в представленном выше подходе Л.Заде, событие является нечетким, тем не менее, его вероятность - четкая, и она представлена действительным числом из интервала [0,1]. Это является противоречием, и поэтому позднее были предложены другие определения нечеткой вероятности нечеткого события. Ниже приведем некоторые из них.
Р. Егером нечеткое событие определено как нечеткое множество A в X = {x} = {x1,…, xn} с функцией принадлежности, которая измерена в смысле булевой логики. При этом можно предположить, что вероятности элементарных событий p(x1),…, p(xn) ∈ [0, 1] известны, при этом p(x1) +…+ p(xn) = 1.
Нечеткая вероятность нечеткого события A в X = {x} = {x1,…, xn} обозначена Р(A) и определяется как следующее нечеткое множество в [0, 1]:

Вероятно, приведенное выше выражение является итогом применения принципа расширения. В терминах функции принадлежности выше приведенное определение имеет следующий вид:

где Аα есть α-уровень нечеткого множества А.
Пример. Пусть X = {1, 2, 3, 4}, p(1) = 0.1, p(2) = 0.3, p(3) = 0.5, p(4) = 0.1, и A = 0.2/1 + 0.5/2 + 0.8/3 + 1/4.
Тогда α ∈ {0.3, 0.5, 0.8, 1} и А1 = {4} А0.8 = {3, 4} А0.5 = {2, 3, 4} А0.3 = {1, 2, 3, 4}.
Или р(А1) = 0.1 р(А0.8) = 0.6 р(А0.5) = 0.9 р(А0.3) = 1.
Отметим, что определение Р. Егера тоже не разрешает все противоречия и проблемы, потому что оно не выполняет приведенных выше свойств вероятности, которым удовлетворяет определение Л.Заде. Также нужно заметить, что на практике подход Егера уже нашел свое применение в нечетком управлении на основании нечеткой логики. Предложены и другие определения нечеткого события, которые опираются на то, что случайность и нечеткость, являясь качественно различными типами неопределенности, не являются взаимоисключающими, а наоборот, взаимосвязаны и дополняют друг друга при оценке одних и тех же явлений.
На сегодняшний день самыми дискуссионными являются вопросы, которые непосредственно связаны с разграничением теории вероятностей и теории возможностей. Для того, чтобы более наглядно представить суть проблемы, проанализируем следующий пример. Представим, что свидетель оценил возраст подозреваемого в преступлении как интервал в границах от 20 до 30 лет. Следовательно, получаем интервальную переменную величину:
Возраст (подозреваемый) = [20,30].
Такое определение обозначает, что любой возраст 19, 31 и др., который не содержится в этом интервале, можно исключить из рассмотрения, т.е. признать невозможным. Такой интервальный подход автоматически индуцирует четкие границы между невозможностью и возможностью. Для потребностей практики данный подход оказывается недостаточно гибким для анализа возраста подозреваемого. Введем нечеткое множество «Молодой», величина принадлежности которого представлена на рис.3.1. Причем автоматически введем распределение возможностей (возможность того, что возраст подозреваемого 19 лет равна 0.7, 21 год – 1.0 и т.д.). Распределение возможностей в математическом смысле описывается функцией принадлежности:
ПВозраст(подозреваемый) (x) = µМолодой(х)
где П- распределение возможностей для возраста подозреваемого, x-возраст.


Рис. 3.1. Распределение возможностей для переменной величиной «Молодой»

В общем случае, если описываем некую переменную величину X, значение которой точно неизвестно, при помощи нечеткого множества A, то тем самым автоматически генерируем распределение возможностей на X, которое задает величина принадлежности:
ПX (x) = µА(x)
Формально распределение возможностей отличается о распределения вероятностей тем, что не оно требует равенства единице интеграла от ПX (x) по X. Чтобы более глубоко провести анализ суть различий, сопоставим вероятности и интервальные переменные величины. Как уже было указано, интервальные переменные величины (объекты) жестко ограничивают возможные значения в своих границах, не указывая на какие-то вероятности реализации конкретных значений внутри интервала. Также распределение возможностей устанавливает «степень легкости», с которой переменная величина может принять определенное значение без какой- то информации о вероятности данного явления.
Следовательно, распределения вероятности и возможности различаются на качественном уровне. Однако между ними есть определенные взаимосвязи. К примеру, если событие невероятно, то оно и невозможно. В формально математическом смысле распределение возможностей можно рассматривать как верхнюю границу распределения вероятностей:
РX (x) ≤ ПX (x).
Такое формальное обстоятельство послужило базисом ряда попыток введения конструктивных процедур конверсии (трансформации) распределения возможностей в вероятностное распределение [1].
В простом варианте конверсию вероятности в возможностей предлагается проводить при помощи нормировки типа:
P(x) = µА (x)/ ПX (x)dx.
Заключение

Следовательно, можно подвести следующие итоги.
На практике, в случае, если исходное распределение возможностей построено при участии экспертов или лиц, которые принимают решения, итоги трансформации должны быть им предъявлены для оценки. Поскольку трансформация может значительно исказить исходные данные, полученные итоги могут быть просто отвергнуты экспертами. Эксперты на интуитивном уровне обычно хорошо отличают количественные меры вероятности (даже субъективные) и качественные суждения о возможности осуществления явлений. Распределения возможностей строятся на основании функций принадлежности нечетким множествам. В труде [3] доказано, что построенные так распределения возможностей менее информативны, чем вероятностные распределения. Говоря другими словами, распределение возможностей по умолчанию содержит меньше точной количественной информации.
Таким образом, цель работы достигнута, задачи решены в полном объеме.


Список использованных источников

Бочарников В.П. Fuzzy-технология: математические основы, практика моделирования в экономике. – С.Пб: Наука РАН, 2001. – 328 с.
Заде Л. Определение лингвистической переменной величиной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ.–М.: Мир, 1976. - 166 с.
Круглов В.И., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. – М.: Изд. Физ.мат.лит., 2002. – 312 с.
Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде Matlab и fuzzyTECH. – С.Пб.: BHV-Санкт-Петербург, 2003. – 736 с.














8


12