История и философия комплексного анализа в математике

Черту под вопросом легитимизации понятия комплексного числа подвел немецкий математик Фердинанд Георг Фробениус, доказавший в 1877 году знаменитую теорему общей алгебры, впоследствии названную его именем. Согласно теореме Фробениуса поле комплексных чисел является единственной математической конструкцией, которая является алгебраически замкнутой, не имеет делителей нуля и сохраняет все свойства вещественных чисел (коммутативность и ассоциативность). То есть, можно утверждать, что комплексные числа – это самые главные числа в математике. Поэтому многие математические положения на языке комплексных чисел формулируются очень кратко и изящно. Доказательство многих теорем становится очень компактным и простым. Вычисления в технике и в таких науках, как физика, механика, астрономия, значительно упрощаются.
Следствием стало рождение двух самых знаменитых теорий математики. Это основная теорема алгебры о том, что любой многочлен степени n с комплексными корнями всегда имеет n корней, которые в общем случае также комплексные. И теорема в теории функций комплексного переменного, где говорится, что если мы знаем все значения такой аналитической функции на каком-то участке, то мы можем однозначно узнать все ее значения за пределами этого участка.

Развитие комплексного интегрирования
Наибольшее значение для построения теории функций комплексной переменной имели исследования, в которых применялись и развивались эйлеровы методы вычисления определенных интегралов с использованием комплексной переменой. Лаплас в цикле работ, опубликованных в 1782-1786 годах, развивал метод решения линейный разностных и дифференциальных уравнений, основанный на замене неизвестной функции  интегралами вида  или , где  – новая неизвестная функция. Здесь же впервые встречается знаменитое преобразование Лапласа. Указанные интегралы берутся между пределами, удовлетворяющими некоторому уравнению – уравнению пределов, вообще неалгебраическому. Нередко корни этого уравнения оказывались мнимыми. Получив интегралы с «мнимыми пределами», Лаплас подвергал их различным преобразованиям, основанным на замене переменной интегрирования, и приходил к интегралам от действительных функций действительной переменной. Лаплас отмечал, что переходы от действительного к мнимому позволили ему найти значения многих определенных интегралов, и оценивал роль этих переходов как своего рода индукцию, признавая необходимой дополнительную проверку результатов, полученных на этом пути. Он указывал, что Эйлер одновременно с ним использовал переход от действительного к мнимому для вычисления интегралов, но что полученные Эйлером результаты вышли в свет позднее соответствующих результатов Лапласа. Проблема комплексного интегрирования в полном и совершенном виде была высказана Гауссом в его письме к Бесселю от 19 декабря 1811 года, которое, к сожалению, впервые было опубликовано вместе со всей перепиской двух ученых только в 1880 году Гаусс писал следующее: «Что нужно понимать под  для . Очевидно, если хотят исходить из ясных понятий, нужно принять, что х, отправляясь от значения, для которого интеграл должен равняться нулю, посредством бесконечно малых приращений (каждое вида ) переходит к  и тогда сложить все . Так смысл вполне установлен. Но переход может совершаться бесконечно многими способами. Так же как совокупность всех действительных чисел можно мыслить в виде бесконечной прямой линии, так и совокупность всех величин, действительных и мнимых, можно сделать зримой посредством бесконечной плоскости, каждая точка которой, определяемая абсциссой а и ординатой b, будет как бы представлять величину . Непрерывный переход от одного значения х к другому  совершается поэтому по линии и, следовательно, возможен бесконечно многими способами. Я утверждаю теперь, что интеграл  при двух различных переходах сохраняет одно и то же значение, если внутри части плоскости, заключенной между двумя линиями, представляющими переход, функция  нигде не равна . Это прекрасная теорема, нетрудное доказательство которой я дам при удобном случае. Она связана с другими прекрасными истинами, касающимися разложений в ряды. Переход в каждой точке следует производить так, чтобы ни разу не затронуть места, где . Я настаиваю на том, что такие точки следует обходить, что для них, очевидно, первоначальное основное понятие интеграла  теряет ясность и легко приводит к противоречиям.
Вместе с тем, отсюда ясно, как функция, порожденная посредством интеграла  может иметь многие значения для одного и того же значения х, а именно в зависимости от того, будет ли при переходе , допущен однократный или многократный обход вокруг точки, в которой или же такого обхода совсем не будет». Здесь же Гаусс впервые дает полное объяснение многозначности логарифма, определяемого как .
Результаты исследований Коши, имеющие значение для истории теории функций комплексной переменной, первоначально изложены в его «Мемуаре о теории определенных интегралов» (представлен в 1814 году, опубликован в 1825 году). В этом мемуаре нет еще того отчетливого понимания всей проблемы комплексного интегрирования, которое обнаруживается в цитированном письме Гаусса. Такое понимание складывалось у него постепенно, в течение почти трех десятилетий. Однако его труды были опубликованы в свое время (хотя и с некоторым опозданием), и именно они, а не идеи Гаусса, легли в фундамент систематического построения общей теории.
В период с 1826 по 1829 годы Коши создает теорию вычетов. Название вычет (буквально: остаток) объясняется тем, что Коши пришел к этому понятию, отыскивая разность между интегралами, взятыми по таким двум путям, имеющим общее начало и конец, между которыми заключаются полюсы функции. В таком виде вычеты встречаются в указанных двух его мемуарах. Во втором из них уделяется наибольшее внимание анализу случаев, когда функция обращается в бесконечность внутри или на сторонах прямоугольника. Здесь интегралы по разным путям имеют вообще неравные значения, и Коши вычисляет разности между ними, делая различные предположения. Сам термин и определение вычета встречаются впервые в его статье «О новом роде исчисления, аналогичного исчислению бесконечно малых» в 1826 году.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля. Также комплексными числами пользовался отец русской авиации Н. Е. Жуковский при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники. И как говорил Ф. Клейн: «Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение».
Заключение
Теория функций комплексного переменного – одно из главных достижений математической науки. Выведенная еще в XIX веке Фердинандом Георгом Фробениусом теорема доказывает, что комплексные числа – единственные, являющиеся алгебраически замкнутыми. То есть комплексные переменные – это универсальный способ решения любых задач. Там, где бессильны другие методы решения переход к комплексным переменным позволяет добиться результата.
Потому трудно переоценить вклад теории функций комплексного переменного в решение прикладных задач различного характера. Функции комплексного переменного находят применение в таких прикладных дисциплинах как физика, механика, гидравлика, в большинстве инженерных наук. С другой стороны они весьма часто используются в различных прикладных математических дисциплинах. Неудивительно, что комплексное число во все времена вызывала широчайший интерес со стороны учёных всего мира. Представляя собой логически стройную и гармоничную теорию ТФКП, несомненно, является необходимым элементом современного высшего образования.Литература
Рыбников К.А. История математики 1, 2 части. – М.: Московский Университет, –365 с.
Радыгин И.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. – М.: Высшая школа, – 160 с.
Миронов В.В. Современные проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук. – М.: Гардарики, 2006. – 639 с.












4