НЭШ Теория игр

В результате наиболее «дорогие» ошибки будут случаться с меньшей вероятностью, чем более «дешевые» ошибки.
В представленных выше понятиях совершенного и правильного равновесий основная идея усовершенствования концепции Нэша основывалась па том, что «разумные» равновесия должны быть устойчивыми против небольших отклонений в равновесных стратегиях. Существуют также модификации равновесия по Нэшу, основанные на идее устойчивости равновесий при возмущениях в выигрышах. Однако здесь мы не можем привести все эти концепции и рекомендуем читателям самостоятельно ознакомиться с книгой Эрика Ван Дамма [5] для более глубокого изучения материала.
Заметим, что при использовании равновесия Нэша для моделирования игровых ситуаций вопросы о том, знают ли игроки цели партнеров, знают ли они о рациональности партнеров, умеют ли их просчитывать, и так далее. д., отходят на второй план. Способ формирования ожиданий выносится за рамки анализа; здесь важно только то, что ожидания являются равновесными.
Но если при анализе равновесия Нэша не важно, знает ли игрок цели других игроков, то может возникнуть сомнение в правомерности рассмотрения концепции Нэша в контексте игр с полной информацией. Все дело в том, что термин «полная информация» в теории игр имеет довольно узкое значение. Он фактически подразумевает только полноту сведений о типах партнеров (термин «тип игрока», разъясняется в параграфе, посвященном байесовским играм).



3 Пример аналитического решения биматричной игры 2x2 в смешанных стратегиях

Рассмотрим пример биматричной игры с приведенной ниже платёжной матрицей (табл. 1).

Платёжная Стратегии игрока Р2 матрица а1 а2 Стратегии a1 (85; 126) (123; 98) Р1 a2 (130;41) (35 ;46)
Доминирующих стратегий у игроков нет, а также нет решений, объединяющих предпочтительные результаты первого и второго игроков, следовательно, Нэш-оптимальность в чистых стратегиях отсутствует. Оценим средние возможные результаты игры при случайном перемешивании стратегий с найденными оптимальными по Нэшу пропорциями.
Средний выигрыш первого игрока при равновесии по Нэшу составляет

Анализируя полученные результаты, сразу же отметим главное: средние выигрыши обоих игроков при использовании оптимальной смеси стратегий превышают для каждого из них два своих наихудших результата в чистых стратегиях. В то же время оба средних выигрыша уступают для каждого игрока двум лучшим результатам в чистых стратегиях.
Получение средних характеристик подразумевает накопление достаточной статистики с тем, чтобы статистические частоты выбора стратегий сошлись к вероятностям с заданными оптимальными значениями. Не углубляясь в анализ сходимости по вероятности, отметим, что число повторений игры, обеспечивающее достаточно точное воспроизведение ожидаемых средних вероятностей в данном случае вообще не может быть меньше чем N = 133, ну а на самом деле оно намного больше, что видно из представленных результатов статистического имитационного моделирования, приведенных в виде графиков ниже на рис 1 – 4:



Рисунок 1 – Сходимость среднего выигрыша игрока Р1






Рисунок 2 – Сходимость среднего выигрыша игрока Р2





Рисунок 3 – Сходимость частоты случайной реализации первой стратегии игрока Р1



Рисунок 4 – Сходимость частоты случайной реализации первой стратегии игрока Р2

Как видно из представленных результатов статистического имитационного моделирования, сходимость среднего выигрыша обоих игроков к соответствующим теоретическим значениям имеет место при числе повторений игры не меньше n = 5000, что естественно приводит к вопросу о том, как интерпретировать использование найденных оптимальных смесей стратегий при реальном повторении игры, например, при n = 12 – 30.
Решить задачу выбора оптимальной смеси стратегий при ограниченном числе реализаций можно расширив ранее рассмотренную постановку оптимизационной задачи включением в неё минимизации рассеивания (дисперсии средних выигрышей), что выходит за рамки программы данного курса.


Заключение

В заключении можно отметить, что в современной теории игр разработки Нэша уже имеют ряд решений некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр. Правда на сегодняшний день остается ряд весомых недостатков, присущей этим разработкам, таких как не соблюдения точности и единственности решений равновесия Нэша. При этом эти условия – лишь набор рациональных стратегий поведения. При этом выбор из них нельзя произвести на основе имеющихся данных.
Тем не менее, разработка методов уточнения равновесия Нэша не стоит на месте. На сегодняшний день разрабатываются новые решения данной проблемы, одно из которых заключается в переходе к рассмотрению игры в развернутой форме. При этом некоторое количество игр, имеющих различные представления в развернутом виде, имеют одинаковую нормальную форму.
Еще один выход из данной ситуации состоит в предположении про то, что выбор одного из равновесий Нэша игроки осуществляют на основе определенной второстепенной информации, не нашедшей своего отражения при постановке задачи, носящим название эффектом фокальной точки.
В связи с вышесказанным, на сегодняшний день в Российской Федерации и за рубежом прикладные международные исследования с применением теории игр также используются, но методики этого применения нуждаются в доработке. Большое количество исследований по использованию теории игр в экономике проводится ГУ ВШЭ, в Российской экономической школе и Европейском университете в Санкт-Петербурге.

Список использованных источников

Теория игр [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_игр, свободный. – Загл. с экрана.
Захаров А.В, Теория игр в общественных науках. НИУ-ВШЭ, Москва, 2011. – 179 c.
Григорьев А.В. Теория игр. Учебное пособие. — Томск: ТГАСУ, 2014. — 80 с.
Губко М. В. Новиков Д. А. Теория игр в управлении организационными системами. Издание 2, перераб. и доп. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 2005. — 168с.
Кремлев А.Г. Основные понятия теории игр. Учебное пособие. — Екатеринбург : Издательство Уральского университета, 2016. — 144 с.
Петросян Л. А. Зенкевич Н. А. Семина Е. А. Теория игр. учебник / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. В. Шевкопляс. — 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2012 — 432 с.
Дуплякин В.М. Теория игр. Учебное пособие. — Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун - та, 2011. – 191с.
Печерский С. Л. Беляева А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. Учебное пособие. — СПб.: Издательство Европейского университета в Санкт-Петербурге, 2001. — 342 с.
Бусыгин В. П. Желободько Е. В. Цыплаков А. А. Микроэкономика - третий уровень. СО РАН , 2003. – 704 с.
Парфёнов Г.Н. Принципы теории игр. Учебное пособие. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2001. – 91 с.
Григорьева К.В. Теория игр. Часть 2. Кооперативные игры и игры в позиционной форме: учеб. пособие – СПб.: СПб. гос. архит.-строит. ун-т. 2009. – 134 с.








2