Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Объем информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), выражаемой в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).Бит – минимальная единица измерения информации. В каждом бите может храниться 0 или 1.Для измерения объема хранимой информации используются следующие единицы:1 байт = 8 бит;1 кбайт (килобайт) = 1024 байт = 210 байт;1 Мбайт (мегабайт) = 1024 кбайт = 210кбайт = 220байт;1 Гбайт (гигабайт) = 1024 Мбайт = 210Мбайт = 220кбайт = 230байт.Число 1024 как множитель при переходе к более высшей единице измерения имеет своим происхождением двоичную систему счисления (1024 – это десятая степень двойки):В известном смысле все позиционные системы счисления являются равноправными, но в различных случаях удобнее пользоваться различными системами. Из всех систем счисления максимальное распространение, за исключением десятичной системы, получила двоичная система счисления. Понятно, что это связано с надежностью отображения информации: при ее кодировании, передаче и декодировании вероятность ошибки (потери информации) мала по сравнению с тем, когда используются другие системы счисления. Двоичная система счисления проста, поскольку для отображения информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации называют двоичным кодированием.Представление информации в двоичной системе применялось людьми с глубокой древности. Например, жители островов Полинезии передавали нужнуюинформацию при помощи барабанов, используя чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, и таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в XIX–XX веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе – в виде последовательности из точек и тире. Наконец, в повседневной жизни мы нередко уславливаемся открывать входную дверь лишь по «условному сигналу» – комбинации коротких и длинных звонков.Самюэл Морзе в 1838 г. изобрел код – телеграфную азбуку – систему кодировки символов короткими и длинными посылками для передачи их по линиям связи, известную как «код Морзе». Современный вариант международного «кода Морзе» (International Morse) появился сравнительно недавно – в 1939 году, когда были проведены последние корректировки.Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий во многих играх в теории игр.2.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другуюНаиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Выясним, каким образом связаны между собой представления числа в этих системах счисления.Для того чтобыдвоичное число перевести в десятичное, нужно записать это число в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и затем произвести вычисления по правилам десятичной арифметики: При переводе полезно использовать таблицу степеней двойки:n(степень)0123456789102n12481632641282565121024Пример: Число нужно перевести в десятичную систему:Для того чтобывосьмеричное число перевести в десятичное, нужно записать это число в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:При переводе полезно использовать таблицу степеней восьмерки:n(степень)01234568n1864512409632768262144Пример: Число нужно перевести в десятичную систему:Для того, чтобы шестнадцатеричное число перевести в десятичное, нужно записать это число в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:При переводе полезно использовать таблицу степенейчисла 16: n(степень)012345616n116256409665536104857616777216Пример: Число нужно перевести в десятичную систему:Для того, чтобыдесятичное числоперевести в двоичную систему,нужно это число делить последовательно на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе представляется как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.Пример: Число нужно перевести в двоичную систему:Для представлениядесятичного числа в восьмеричной системеэто число нужно делить последовательно на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе представляется как ряд цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.Пример: Числонужно перевестив восьмеричную систему:Для представлениядесятичного числа в шестнадцатеричной системенужно это число делить последовательно на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе представляется как ряд цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.Пример: Число746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.746710=1D2B16Для переводачисла из двоичной системы в восьмеричную, нужно это число разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:2-ная0000010100111001011101118-ная01234567Пример: Число нужно перевести в восьмеричную систему: Для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную, нужно это число разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заместить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:2-ная0000000100100011010001010110011116-ная012345672-ная1000100110101011110011011110111116-ная89ABCDEFПример: Числонужно перевести в шестнадцатеричную систему:Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.Пример: Число следует перевести в двоичную систему: Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.Пример: Числонужно перевести в двоичную систему:При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.Пример 1: Число следует перевести в восьмеричную систему:Пример 2: Число нужно перевести в шестнадцатеричную систему:Таблица соответствия натуральных чиселДесятичнаяДвоичнаяВосьмеричнаяШестнадцатеричная100111201022301133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F16100002010ЗаключениеИнтуитивное представление о числе имеет такую же древнюю историю, как и история самого человечества. Еще до того, как у человека появился навык счета, или возникла идея обозначать числа словами, он, конечно же, обладал наглядным, интуитивным представлением о числе, благодаря которому он мог различать одного человека от другого или двух и многих людей. С самого начала счет был ассоциирован с предельно конкретным набором предметов, и самые первые имена чисел были прилагательными. Одним из высших достижений древней арифметики следует признать открытие позиционного принципа изображения чисел. Установлено, что первой из известных систем счисления, основанных на позиционном принципе, была вавилонская 60-ричная система счисления, появившаяся в Древнем Вавилоне приблизительно во 2-м тысячелетии до нашей эры.В современном мире для повседневных вычислений используется десятичная система счисления. Мы знаем, что предшественницей десятичной системы счисления является десятичная система, возникшая в Индии приблизительно в VIII в. н.э. Знаменитый французский математик Лаплас (1749–1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:"Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой".Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в своем известном сочинении "Liber abaci" (1202) выступает ревностным популяризатором новой нумерации. Он писал:"Девять индусских знаков – суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски "zephirum", можно написать какое угодно число".В своей работе все современные компьютеры базируются на "двоичной" системе счисления.Следует признать важность и полезность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно, но и каждой системы в отдельности. Ведь в разных областях техники и науки используются различные системы счисления, со своими специфическими особенностями и свойствами. ЛитератураМатематическая энциклопедия. М: “Советская энциклопедия” 1985г.Кодирование информации (Двоичные коды). Березнюк Н.Т. Андрущенко А. Г. и др. Харьков, 1978.Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ, Л.: Машиностроение, 1988.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.Ролич Ч.Н. – От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981.Шауман А.М. Основы машинной арифметики. Ленинград, Издательство Ленинградского университета. 1979.Калабеков Б.А. Цифровые устройства и микропроцессорные системы. М: “Горячая линия - Телеком” 2000.Ворощук А.Н. Основы ЦВМ и программирования. М:”Наука” 1978.Алексенко А.Г. Микросхемотехника. М: ”Радио и связь” 1990.Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы, М.: Энергоатомиздат, 1985.Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004.Г.И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964.Касаткин В.Н. Введение в кибернетику. Радянська школа. Киев, 1976.