Расчетная работа по дифференциальным уравнениям

Решение задачи Коши для системы уравнений (7) осуществлялось с применением численных методов типа Рунге-Кутты [46]. Некоторые из результатов численных экспериментов приведены на рис. 2–4 (, , ).На рис. 5 показано изменение коэффициентов   как «функции»  в установившемся режиме () для случая ,, а на рис. 3 — . Как следует из рис. 2 и рис. 3 при решении нелинейных уравнений с высокой степенью точности можно ограничиться 2–3 членами в представлениях (6).На рис. 4 отражено изменение функций  и  (общей численности популяций на отрезке) в зависимости от значений параметров  и . Пара кривых  (первая популяция) и  (вторая популяция) соответствуют решению системы уравнений (2), а пара кривых  и  — системе уравнений (7). Как следует из этого рисунка высокая подвижность особей приводит к уменьшению общей численности популяции.Рис. 5. Значения коэффициентов   в (6) при Рис. 6. Значения коэффициентов   в (6) при 4. Анализ результатовВ общем виде с учетом самоограничения численности по логистическому закону система дифференциальных уравнений, описывающая взаимодействие двух видов, может быть записана в форме: (28) где параметры ai - константы собственной скорости роста видов, ci - константы самоограничения численности (внутривидовой конкуренции), bij - константы взаимодействия видов, (i,j=1,2). Соответствие знаков этих последних коэффициентов различным типам взаимодействий приведено в табл. П.3.1. Таблица 3Типы взаимодействия видовСИМБИОЗ + + b12, b21> 0 КОММЕНСАЛИЗМ + b12 > 0, b21= 0 ХИЩНИК-ЖЕРТВА + - b12 > 0, b21< 0 АМЕНСАЛИЗМ - b12 = 0, b21< 0 КОНКУРЕНЦИЯ - - b12, b21 < 0 НЕЙТРАЛИЗМ b12, b21 = 0  Исследование свойств моделей типа (28) приводит к некоторым важным выводам относительно исхода взаимодействия видов.Уравнения конкуренции (b12 > 0, b21 < 0) предсказывают выживание одного из двух видов, в случае если собственная скорость роста другого вида меньше некоторой критической величины. Оба вида могут сосуществовать, если произведение коэффициентов межпопуляционного взаимодействия меньше произведения коэффициентов внутри популяционного взаимодействия: b12b21 < c1c2..Для изучения конкуренции видов ставились эксперименты на самых различных организмах. Обычно выбирают два близкородственных вида и выращивают их вместе и по отдельности в строго контролируемых условиях. Через определенные промежутки времени проводят полный или выборочный учет численности популяции. Регистрируют данные по нескольким повторным экспериментам и анализируют. Исследования проводили на простейших (в частности, инфузориях), многих видах жуков рода Tribolium, дрозофиллах, пресноводных ракообразных (дафниях). Много экспериментов проводилось на микробных популяциях. В природе также проводили эксперименты, в том числе на планариях (Рейнольдс) двух видах муравьев (Понтин). Результаты свидетельствуют о существовании конкуренции, ведущей к уменьшению численности обоих видов.Модель конкуренции типа (28) имеет недостатки, в частности, из нее следует, что сосуществование двух видов возможно лишь в случае, если их численность ограничивается разными факторами, но модель не дает указаний, насколько велики должны быть различия для обеспечения длительного сосуществования. Внесение стохастических элементов (например, введение функции использования ресурса) позволяет ответить на эти вопросы.Для взаимоотношений типа хищник-жертва или паразит-хозяин система уравнений (28) принимает вид:(29)При различных соотношениях параметров в системе возможно выживание только жертвы или только хищника (если у него имеются и другие источники питания), а также возможно сосуществование обоих видов. В этом случае численности видов совершают колебания, причем колебания численности хищника в модели запаздывают по отношению к колебаниям численности жертвы .На вопрос о том, отражает ли модель природные закономерности ответить не так просто. В реальности колебания численностей хищника и жертвы наблюдались как в природных, так и в экспериментальных ситуациях.Однако, существует много важных аспектов экологии хищника и жертвы, которые в модели не учтены. Даже если в популяции наблюдаются регулярные колебания численности, это вовсе не обязательно служит подтверждением модели Вольтерра, логистической модели с запаздыванием или любой другой простой модели. Колебательное изменение численности популяции в природе может отражать ее взаимодействие с пищевыми объектами или с хищниками. Численность хищников может повторять эти циклы даже в том случае, если само взаимодействие их не вызывает. При описании любой конкретной ситуации требуется построение гораздо более подробной модели, чаще всего имитационной (см. Биология математическая), и необходима большая работа по идентификации параметров такой модели, лишь тогда можно надеяться на правдоподобное моделирование природной ситуации.Модель Лотки-Вольтерра сыграла исключительную роль в развитии математической экологии. На ее основе можно построить множество иных, более сложных моделей. Например, они могут описывать взаимосвязь не двух, а большего количества ресурсов. Уравнения Вольтерра послужили отправной точкой для создания большинства динамических моделей, как в экологии, так и в микробиологии вплоть до сегодняшнего дня. Вольтерра изучал сосуществование видов при более широких гипотезах, в частности при изменении внешних условий и с учетом явления последействия, рассмотрение которого приводит к интегродифференциальным уравнениям. Тем не менее, применение модели в реальной жизни для многих целей затруднительно, так как модель не дает ответа на вопрос: какой из сценариев будет развиваться при изменении модели. Так же представляется проблематичным сбор и анализ всех факторов, влияющих на систему.Установленные взаимоотношения могут в корне меняться, при изменении эффективности стратегий одного из участников или качественного изменения внешней среды. 5. Список источников1. Апонин Ю. М., Апонина Е. А. Принцип инвариантности Ла-Салля и математические модели эволюции микробных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 2. — С. 177–190. 2. В.Цибулин В. Г. Моделирование пространственно-временной миграции близкородственных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3. — № 4. — С. 477–488. 3. Викторов А. А., Холоднов В. А., Гладких В. Д., Алехнович А. В. Математическая модель влияния окружающей среды на старение живых систем // Успехи геронтологии. — 2013. — Т. 26. — № 1. — С. 52–57. 7. Виташевская 4. Гилев А. В. Закономерности пространственного распределения и научные основы охраны рыжих лесных муравьев // Зоологический журнал. — 2010. — Т. 89. — № 12. — С. 1413–1420. 5. Горбунова Е. А., Колпак Е. П. Математические модели одиночной популяции // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. — 2012. — Вып. 4. — С. 18–30. 13.6. Григорьева К. В., Иванов А. С., Малафеев О. А Статическая коалиционная модель инвестирования инновационных проектов // Экономическое возрождение России. — 2011. — № 4. — С. 90–98. 7. Григорьева К. В., Малафеев О. А. Динамический процесс кооперативного взаимодействия в многокритериальной (многоагентной) задаче почтальона // Вестник гражданских инженеров. — 2011 — № 1. — С. 150–156. 8. Жабко Н. А. Параметрическая идентификация динамических моделей морских судов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2012. — Т. 8. — № 1. — С. 80–84. Жукова И. В., Колпак Е. П. 9. Математическая модель солидной опухоли // Естественные и математические науки в современном мире. — 2013. — № 13. — С. 18–25. 10. Жукова И. В., Колпак Е. П. Математические модели злокачественной опухоли // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2014. — № 3. — С. 5–18. 11. Кабриц С. А. Мальков В. М., Мансурова С. Е. Математическое моделирование нелинейной деформации эластомерного слоя // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2011. — № 3. — С. 56–63. 12. Карелин В. В Один подход к задаче оценки параметров динамической системы в условиях неопределенности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2012. — № 4. — С. 31–36.13. Карелин В. В. Точные штрафы в задаче оценки координат динамической системы в условиях неопределенности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2011. — № 4. — С. 40–46. 14. Карелин В. В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010. — № 4. — С. 109–114. 15. Колобов А. Н. Численно-аналитическое исследование модели роста дерева в условиях конкуренции за свет // Математическая биология и биоинформатика. — 2012. — Т. 7. — № 1. — С. 125–138