аппроксимация решений интегральных уравнений в виде разложения по полиномам Чебышева

Теорема 3.2. Если система {φi}, где φi - многочлен точной степени i, ортогонален на [a, b] относительно неотрицательного веса w (x), то φn имеет ровно n различных вещественных нулей в [a , b], для каждого n ≥ 0.Доказательство. (Например, Snyder, 1966, стр.7). Предположим, что φn имеет меньше n вещественных нулей или что некоторые из его нулей совпадают. Тогда в [a, b] есть m точек t1, t2, ..., tm, где 0 ≤ m 0, с коэффициентами Чебышева, заданными формулойгдеТогда можно показать, что так что для каждого i, KM (yi, N, y) является многочленом степени M по y, интерполируя K (yi, N, y) в точках ym, M. Легко показать, чтоСледовательнодавая приближенные интегралы, которые нам нужны.Другой подход, основанный на «чередующихся многочленах» (равные экстремумы которых встречаются среди точек данных), предложен Брутманом (1993). Он приводит к решению в виде суммы полиномов Чебышева с оценками ошибок.4.2. Примеры численного решения уравнения Фредгольма второго рода с использованием полиномов ЧебышеваРассмотрим на следующем двух простых примерах описанную выше процедуру численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго родас использованием полиномов Чебышева. Решения были получены в пакете Matlab, для оценки интеграла использовалось правило Симпсона с адаптивным размером шага.1) Первый примерЧисленное решение этого уравнения показано на рисунке 1.хРисунок 1. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1): точное решение – синяя линия; аппроксимация с использованием полиномов Чебышева – красная линия2) Второй примерK(x,y) = ( x – y)3.Его численное решение показано на рисунке 2.Рисунок 2. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2): точное решение – синяя линия; аппроксимация с использованием полиномов Чебышева – красная линияКак показано на рисунках, полиномы Чебышева могут быть использованы для решения интегральных уравнений на примере уравнений Фредгольма второго рода с высокой точностью и эффективностью. Эксперименты с численными решениями уравнений Фредгольма показали, что в то время как многочлены Чебышева могут эффективно использоваться для оценки гладких функций, когда истинное решение является сингулярным, рассчитанное решение потребует большого количества членов. Это, в свою очередь, когда вычисление выполняется с фиксированной двойной точностью, делает инверсию плохо обусловленной матрицы крайне неточной. Фактически, когда число точек коллокации N достаточно велико, число условий матрицы растет экспоненциально с N. Хотя большинство языков программирования имеют библиотеки или средства для использования арифметики произвольной точности, на данный момент они доступны только для центральных процессоров. Однако, если эта проблема будет устранена в будущем, внедрение этого метода решения на графическом процессоре или графическом процессоре вместо центрального процессора приведет к значительному ускорению. Предложенный метод обеспечивает хорошую эффективность. ЗаключениеИнтегральные уравнения являются одним из основных инструментов в различных областях прикладной математики, физики и техники. Вычислительный подход к решению интегрального уравнения является важной областью научного исследования. Интегральные уравнения, как правило, трудно решить аналитически, и точные решения очень немногочисленны. Поэтому интегральные уравнения были предметом интереса многих исследований. Вычислительный подход решения интегральных уравнений является важной областью научного исследования. Действительно, для решения интегральных уравнений было разработано много методов, таких как метод вейвлет-подобных оснований, параллельные итерационные методы, метод коллокации, метод декомпозиции, гибридный метод серии Тейлора, метод Петрова-Галеркина, метод разложения Адомяна.В принципе, аналитическое решение является наиболее желательным результатом в теории, но оно недоступно для большинства практических задач. Хотя численные методы могут справиться с большинством сложных задач, связанных с системой интегральных уравнений, полученные результаты не могут быть выражены в простой форме. По сравнению с численными методами одно из преимуществ приближенных методов заключается в том, что оно может дать решение в аналитической форме с допустимой ошибкой. В результате, современные аппроксимационные методы по-прежнему представляют большой интерес, несмотря на современные численные методы с помощью быстродействующих компьютеров. С начала 1994 методы полиномов Чебышева также были использованы исследователями, поскольку этот подход приводит к приближенному решению интегрального уравнения, которое может быть явно выражено в простой замкнутой форме и которое может быть эффективно вычислено с использованием символических вычислительных кодов на любом современном персональном компьютере. Чтобы получить лучшее приближенное решение уравнения, берется больше форм из чебышёвского разложения функций, т. е. предел отсечения N может быть достаточно большим. Кроме того, интересной особенностью этого метода является поиск аналитических решений, если уравнение имеет точное решение, являющееся полиномиальными функциями.В результате этого исследования подтверждается мощность и универсальность используемого метода. Метод также можно распространить на систему линейных интегральных уравнений Фредгольма, но требуются некоторые модификации.В настоящей работе решалось интегральное уравнение Фредгольма второго рода, в котором применяются полиномы Чебышева для приближения решения для неизвестной функции интегрального уравнения Фредгольма и преобразования этого уравнения в систему линейных уравнений. Также приведены сходимость и скорость сходимости. Точность этого метода проверяется с помощью некоторых численных примеров, и результаты сравниваются с предыдущим результирующим набором для исследования эффектов выбора полиномов Чебышева.Таким образом, полиномы Чебышева могут быть использованы для решения интегральных уравнений на примере уравнений Фредгольма второго рода с высокой точностью и эффективностью. Список использованной литературыАлберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. − М.: Мир, 1972.Abramowitz, M. & Stegun, I. A., Eds. (1964), Handbook of MathematicalFunctions, number 55 in Applied Mathematics Series, National Bureau of Standards, Washington.Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. − М., 1954.Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.:Наука, 1979Achieser, N. I. (1956), Theory of Approximation, Ungar, New York. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. −М.: Наука, 1978.Adam, G. (1987), Alternative formulation of the extended Clenshaw–Curtis quadrature rules for oscillating integrals, Rev. Roumaine de Physique 32, 813–826.Dedus F.F., Dedus A.F., Ustinin M.N. A new data processing technology for pattern recognition and image analysis problems. Pattern Recognition and Image Analysis, vol.2, pp.195-207, 1992.Dedus A.F., Dedus F.F., Makhortykh S.A., Ustinin M.N. Analytical description of multidimensional signals for solving problems of pattern recognition and image analysis. Pattern Recognition and Image Analysis, vol.3, pp.459-469, 1993.Толстов Г.П. Ряды Фурье. − М., 1960.Adam, G. & Nobile, A. (1991), Product integration rules at Clenshaw–Curtis and related points — a robust implementation, IMA J. Numer. Analysis 11, 271–296.Фарлоу C. Уравнения с частными производными. − М.: Мир, 1985.Anderson, I. J., Cox, M. G. & Mason, J. C. (1995), Tensor-product spline interpolation to data near a family of lines, Numerical Algorithms 5, 193–204.Волощенко A.M., Журавлев В.И. Вычисление весов и узлов квадратурных формул Гаусса с весовыми функциями классических ортогональных полиномов непрерывного и дискретного переменного// Препринт №89 М.: ИПМ АН СССР, 1977Grafov B.M., Grafova I.B. Theory of the wavelet analysis for electrochemical noise by use of Laguerre functions// Electrochemistry Communications, v.2, 2000, p.386-389Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976.СонинН.Я. Об определении максимальных и минимальных свойств плоских кривых// Варшавские университетские известия, 1986, №1-2, с.1-68Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач -М.: Наука, 1974Atkinson, K. E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis, 2nd ed., John Wiley, New York.Дедус Ф.Ф., Воронцов В.Б. Диагностика непрерывных систем с использованием ортогональных фильтров// Труды I Всесоюзного совещания по технической диагностике. М.: Наука, 1972, с.103-108Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. − М., 1966.Дедус Ф.Ф. Автоматизация аналитического представления и обработки результатов экспериментальных исследований. //Материалы I Международной школы по автоматизации научных исследований. − Пущино, 1985, с.96-112.Baltensprenger, R. & Berrut, J.-P. (1999), The errors in calculating the pseudospectral differentiation matrices for Chebyshev–Gauss–Lobatto points, Comput. Math. Appl. 37, 41–48.Bayliss, A., Class, A. & Matkowsky, B. J. (1994), Roundoff error in computing derivatives using the Chebyshev differentiation matrix, J. Comput. Phys. 116, 380–383.Бесекерский В.А., Дедус Ф.Ф., Ройтберг М.А. Сжатие информации и идентификация на основе ортогональных разложений // Труды Ленинградского ИАП, 1977.Гальченко А.А., Дедус Ф.Ф. Идентификация экспоненциальных сигналов методом взвешенных моментов. Автометрия. № 4, 1983.Bennell, R. P. (1996), Continuous Approximation Methods for Data Smoothing and Fredholm Integral Equations of the First Kind when the Data are Noisy, Ph.D. thesis, Cranfield University (RMCS).Bennell, R. P. & Mason, J. C. (1989), Continuous approximation methods for the regularisation and smoothing of integral transforms, Rocky Mountain J. Math. 19, 51–66.Дедус Ф.Ф. Комбинированные цифро-аналитические методы обработки данных экспериментов //Материалы III Международной школы по автоматизации научных исследований. − Пущино, 1990, с. 52−77.Джерри А.Дж. Теория отсчетов Шеннона, ее различные приложения и обобщения. Обзор. ТИИЭР, т.65, N 11, 1977, с.53 - 89.Bennell, R. P. & Mason, J. C. (1991), Bivariate orthogonal polynomial approximation to curves of data, in C. Brezinski et al., Eds., Orthogonal Polynomials and their Applications, IMACS, Baltzer, Bussum, Netherlands, pp. 177–183.Bernardi, C. & Maday, Y. (1992), Approximations spectrales de probl`emes aux limites elliptiques, Springer-Verlag, Berlin.Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. − М.: Наука, 1975.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. − М: Наука, 1968.Mason, J. C. (1965), Some new Approximations for the Solution of Differential Equations, D.phil. thesis, Oxford University.Mason, J. C. (1967), Chebyshev polynomial approximations for the Lmembrane eigenvalue problem, SIAM J. Appl. Math. 15, 171–186.Chen H. The Quadrature Discretization Method and Its Applications// Thesis, The University of British Columbia, 1998Broucke R. Construction of Rational and Negative Powers of a Formal Series// Communications of the ACM, v.14, 1971, JV®1, p.32Mason, J. C. (1969), Chebyshev methods for separable partial differential equations, in Information Processing 68, Vol. 1, North-Holland, Amsterdam, pp. 164–169.Mason, J. C. (1970), Orthogonal polynomial approximation methods in numerical analysis, in A. Talbot, Ed., Approximation Theory (Lancaster,1969), Academic Press, New York, pp. 17–33.Broucke R. A446 Ten Subroutines for the Manipulation of Chebyshev Series// Communications of the ACM, v.16, 1973, JV«4, p.254Mason, J. C. (1978), Near-best L∞ and L1 approximations to analytic functions on two-dimensional regions, in D. C. Handscomb, Ed., Multivariate Approximation, Academic Press, New York, pp. 115–135.Mason, J. C. (1980), Near-best multivariate approximation by Fourier series, Chebyshev series and Chebyshev interpolation, J. Approx. Theory 28, 349–358.Mason, J. C. (1982), Minimal projections and near-best approximations by multivariate polynomial expansion and interpolation, in W. Schempp & K. Zeller, Eds., Multivariate Approximation 2, number 17 in ISNM, BirkhЁauser, Basel, pp. 241–254. Сеге Г. Ортогональные многочлены. Физматгиз,1962.Ф.Ф.Дедус, С.А.Махортых, М.Н.Устинин, А.Ф.Дедус. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. М.: Машиностроение, 1999, 356 с.Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. Аппроксимация оригинала и изображения в интегральном преобразовании Лапласа// 5-я Пущинская конференция молодых ученых, (Пущино, 16-20 апреля 2001г.) Тула: ЗАО "Гриф и К",2001, с.334Gil A., Segura J., Temme N. M. Numerical methods for special functions. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007.Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. Идентификация математических моделей спектрально-аналитическим методом// Доклады X Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов", Москва, 2001, с. 107Pankratov A.N., Dedus F.F. Adaptive Approximation of Arbitrary Signals// 5th International congress of mathematical modelling (Sep 30 Oct 6, 2002, Dubna Moscow Region), Book of abstracts, M.:"JANUS-K", 2002, v.2, p.72