основные методы снижения размерности

Проследим процедуру обобщения метода главных компонент на нелинейный случай с привлечением ядрового перехода. Рассмотрим некоторое нелинейное преобразование такое, что в новом пространстве L нелинейное многообразие выборки переходит в гиперплоскость (рис. 2).


Рис. 2

Пусть, например, имеется квадратичное многообразие в двухмерном пространстве вида

(7)

Его отображением на линейное многообразие выступает гиперплоскость в пятимерном пространстве .
Предположим далее, что скалярное произведение в пространстве H может быть вычислено с помощью функции объектов в исходном пространстве, т.е.



Функция К называется ядровой функцией. Можно показать, что схему метода главных компонент можно представить таким образом, чтобы она зависела от выборки Х только посредством скалярных произведений объектов . А из этого следует, что поиск оптимальной гиперплоскости проектирования в пространстве H можно осуществить без рассмотрения преобразования .




Заключение

В работе рассмотрены линейная и нелинейная разновидности метода главных компонент снижения размерности обрабатываемых данных в многомерном пространстве признаков. В обоих случаях представлена строгая математическая модель, позволяющая с требуемой точностью достичь поставленной цели.
Если речь идет о многообразиях, представляющих из себя гиперплоскости или близкие к ним закономерности, то для решения задачи привлекается метод главных компонент. Если же речь идет о многообразиях, многим отличающихся от гиперплоскостей, то целесообразно в этом случае использование ядрового метода главных компонент.

Литература

Харман Г. Современный факторный анализ. М.: Статистика, 1972.
Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1986.
Факторный, дискриминантный и кластерный анализ: Пер. с англ. / Дж.-О. Ким, Ч.У. Мьюллер, У.Р. Клекка и др.; под ред. И.С. Енюкова. М.: Финансы и статистика, 1989.














10