Решение экономических задач методами линейной алгебры

Рассмотрим один из вариантов модели формирования портфеля активов, в котором учитывается фактор неопределенности [1].Пусть имеется всего 2 вида активов – акция и облигация, – которые инвестор может купить в начале периода и продать в конце. Известны текущие стоимости одной акции и облигации в начале периода –с1 и с2соответственно. Фактор неопределенности состоит в том, что на финансовом рынке к концу периода могут сложиться три возможные ситуации, которые мы занумеруем 1, 2, 3. Только одна из них может в действительности реализоваться, но какая - неизвестно. Однако ожидаемые стоимости акции и облигации в конце периода для каждой из ситуаций предполагаются известными (например, они оценены экспертами). Эту информацию представим в виде следующей таблицы:Таблица 2 – Портфель активовЦенные бумагиОжидаемая стоимость для ситуаций123АкцииОблигацииy11y12y21y22y31y32Таким образом, в ситуации с номером s, где s может принимать значения 1, 2, 3, стоимость акции в конце периода равна ys1, а стоимость облигации ys2. По таким ценам инвестор может продать ценные бумаги в ситуации s в конце периода. Мерой эффективности, или прибыльности инвестиций в акции при условии, что реализуется ситуация с номером s, является отношение ожидаемой стоимости акции к текущей:.В аналогичной ситуации мерой прибыльности инвестиций в облигации является показатель: .Далее обозначим через n1и n2число акций и облигаций, которые инвестор может купить в начале периода для последующей перепродажи, а через w0– общую сумму инвестиций, которой он располагает. Так как активы покупаются по начальным стоимостям c1, c2, а общие затраты составляют w0ден. ед., то должно выполняться бюджетное ограничение инвесторас1n1+ с2n2= w0.Далее рассчитываем возможную будущую стоимость портфеля для каждой из ситуаций[1]. Применение линейной алгебры в экономикеПредприятие „Аскон“ выпускает продукцию трех видов K1(брюки), K2(свитера), K3 (платья). На изготовление продукции уходит два вида сырья S1(хлопок), S2 (шерсть). Для определения расхода сырья мы используем матрицу: (3)В этой матрице каждый элемент ai – это единица сырья каждого типа, которые расходуется на производство единицы продукции каждого вида. А также дан план выпуска всей продукции – матрица C=(160 95 140). Кроме того, в условии указана стоимость единицы каждого типа сырья в виде матрицы: (4)При решении задач требуется найти общую стоимость сырья [3].Способ первый:Находим отдельно затраты первого и второго вида сырья.единиц (5)единиц (6)Способ второй:Все известные нам значения запишем с помощью матриц А и С, тогда их произведение C∙A – это затраты сырья. (7)Следующим действием находим общую стоимость сырья: (8)В матричном виде: (9)Таким образом, общая стоимость сырья 923085.Данная задача наглядно показывает, что применение матриц упрощает решение подобных задач в несколько раз. Однако стоит учитывать, что в данном примере указаны всего несколько видов продукции и два вида сырья, тогда как на предприятиях количество видов продукции или сырья могут достигать значительных величин [3].ЗАКЛЮЧЕНИЕТаким образом, на приведенных методах и примерах наглядно можно увидеть, какой существенный вклад линейная алгебра вносит в изучение экономики. Нельзя переоценить пользу использования методов линейной алгебры в экономических задачах. Конечно, не все экономические процессы и изменения можно описать данными методами, но большинство расчётов существенно упрощается в результате использования матричной и векторной алгебры.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВДыхта В.А. Основы математики для экономистов: Линейная алгебра и экономические модели. Иркутск, 2003.Новикова Т.В. Элементы линейной алгебры и линейного программирования в экономике. ТОМИНТЕХ, 2013.Применение элементов линейной алгебры к решению экономических задач. Режим доступа: http://izron.ru/articles/aktualnye-voprosy-ekonomiki-i-sovremennogo-menedzhmenta-sbornik-nauchnykh-trudov-po-itogam-mezhdunar/sektsiya-5-matematicheskie-i-instrumentalnye-metody-ekonomiki-spetsialnost-08-00-13/primenenie-elementov-lineynoy-algebry-k-resheniyu-ekonomicheskikh-zadach/