Принятие решения в условиях риска, конечные матричные игры, бескоалиционные игры

A = (A3, A4, A2, A6, A7, A8, A1) =10000019011700013001900017001710050050101000000119001300019Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим: А-1 =10247/140000-361/14001-11/100003/100019/140000-17/14000-129/7010097/70001/4010-3/400247/140001-361/14000-13/14000019/140Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных. Тогда X = C*A-1 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1) x 10247/140000-361/14001-11/100003/100019/140000-17/14000-129/7010097/70001/4010-3/400247/140001-361/14000-13/14000019/140= (0;0;3/70;0;0;0;1/70) Оптимальный план двойственной задачи равен: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 3/70, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0, x7 = 1/70 F(X) = 1*0+1*0+1*3/70+1*0+1*0+1*0+1*1/70 = 2/35 Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков: qi = g*yi; pi = g*xi. Цена игры: g = 1 : 2/35 = 35/2 p1 = 35/2*0 = 0 p2 = 35/2*0 = 0 p3 = 35/2*3/70 = 3/4 p4 = 35/2*0 = 0 p5 = 35/2*0 = 0 p6 = 35/2*0 = 0 p7 = 35/2*1/70 = 1/4 Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (0; 0; 3/4; 0; 0; 0; 1/4) q1 = 35/2*3/70 = 3/4 q2 = 35/2*1/70 = 1/4 Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (3/4; 1/4) Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (10), то вычтем это число из цены игры. 171/2 - 10 = 71/2 Цена игры: v=15/2Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы: 1. В Декартовской системе координат на оси абсциссы отложен сегмент, длина которого равняется 1. Левый конец сегмента (пункт x = 0) соответствует стратегии B1, праву - к стратегии B2 (x = 1). Промежуточное звено указывает, что x соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1, p2). 2. На левой оси ординаты отложен выигрыш стратегии B1. На линии, параллельной оси ординаты, от пункта 1 отложены победы стратегии B2. Решение игры (m x 2) несут из положения игрока Б, придерживаясь Максиминной стратегии. Dominiruyushaya и резервные стратегии ни один из игроков там. Ассигнованный верхней границе победы A3NA7. Максимальная оптимальная стратегия игрока Б соответствует пункту N, который находится на перекрестке линий A3 и A7, для которого может быть написана следующая система уравнений:y = 7 + (9 - 7)q2 y = 9 + (3 - 9)q2 Откудаq1 = 3/4 q2 = 1/4 Цена игры, y = 15/2 Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A1,A2,A4,A5,A6, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p1 = 0,p2 =0,p4 = 0,p5 = 0,p6 = 0. 7p3+9p7 = y 9p3+3p7 = y p3+p7 = 1 или 7p3+9p7 = 15/2 9p3+3p7 = 15/2 p3+p7 = 1 Решая эту систему, находим: p3 = 3/4. p7 = 1/4. Рисунок 3 – Решение с помощью геометрического подхода3. Бескоалиционные игрыДано:А№1№2В№1№2№1-5-10№104№2-71№22-4Решить: 1. Используя геометрический подход.2. Как игры матрицы балансовой суммы с двумя игроками.Решение: Решите бескоалиционнуюзадачу, представленную в форме стола как матричная игра балансовая сумма с двумя игроками:B1B2А1-412А23-2Элементы данной матрицы игры, где – элементы платежной матрицы игрока А, – элементы платежной матрицы игрока В.Будем считать, что первый игрок А выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный выигрыш, а второй игрок B выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока А:ИгрокиB1B2a = min(Ai)А1-5-14-14А2-95-9b = max(Bj)-55Гарантированный выигрыш определяется нижней ценой игры a = max(ai) = -9которая указывает на максимальную чистую стратегию A1. Верхняя цена игры b = min(bj) = -5Итак, поскольку a ≠ b, в игре отсутствует седловая точка, а цена игры -9 ≤ y ≤ -5Находим решение игры в смешанных стратегиях. Запишем систему уравнений. Для игрока I -5p1-9p2 = y -14p1+5p2 = y p1+p2 = 1 Для игрока II -5q1-14q2 = y -9q1+5q2 = y q1+q2 = 1 Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим: y = -613/23 p1 = 14/23 (вероятность применения 1-ой стратегии). p2 = 9/23 (вероятность применения 2-ой стратегии). Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (14/23; 9/23) q1 = 19/23 (вероятность применения 1-ой стратегии). q2 = 4/23 (вероятность применения 2-ой стратегии). Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (19/23; 4/23) Цена игры: y = -613/23Давайте решим проблему геометрическим методом, который включает следующие шаги: 1. В Декартовской системе координат на оси абсциссы отложен сегмент, длина которого равняется 1. Левый конец сегмента (пункт x = 0) соответствует стратегии A1, праву - к стратегии A2 (x = 1). Промежуточное звено указывает, что x соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1, p2). 2. На левой оси ординат отложены стратегия A1 побед. На линии, параллельной оси ординаты, от побед стратегии пункта 1, отложены A2. Решение об игре (2 x 2) несут из положения игрока А, придерживаясь Максиминной стратегии. Dominiruyushaya и резервные стратегии ни один из игроков там. Ассигнованный нижний предел завоевания B1NB2. Максимальная оптимальная стратегия игрока А соответствует пункту N, который находится на перекрестке B1 B1 линий и B2, для которого может быть написана следующая система уравнений:y = -5 + (-9 - (-5))p2 y = -14 + (5 - (-14))p2 Откуда p1 = 14/23 p2 = 9/23 Цена игры, y = -151/23 Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений -5q1-14q2 = y -9q1+5q2 = y q1+q2 = 1 или-5q1-14q2 = -151/23 -9q1+5q2 = -151/23 q1+q2 = 1 Решая эту систему, находим: q1 = 19/23. q2 = 4/23.Рисунок 1 – Решение с помощью геометрического подходаОтвет: Цена игры: y = -151/23, векторы стратегии игроков: Q(19/23, 4/23), P(14/23, 9/23)3. Решить, как матричные игрыA12321B2421212025510158211271620Будем считать, что первый игрок А выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный выигрыш, а второй игрок B выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока А:B1B2B3a = min(Ai)A1-12-180-18A215-8-10-10A315-8-8b = max(Bi)1550Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = -8, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3. Верхняя цена игры:b = min(bj) = 0. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -8 ≤ y ≤ 0.Находим решение игры в смешанных стратегиях. Запишем систему уравнений. Для игрока I -12p1+15p2+p3 = y -18p1-8p2+5p3 = y -10p2-8p3 = y p1+p2+p3 = 1 Для игрока II -12q1-18q2 = y 15q1-8q2-10q3 = y q1+5q2-8q3 = y q1+q2+q3 = 1 Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим: y = -4440/727 p1 = 307/727 (вероятность применения 1-ой стратегии). p2 = -6/727 (вероятность применения 2-ой стратегии). p3 = 426/727 (вероятность применения 3-ой стратегии). Вероятность получилась отрицательная. Следовательно, данный метод не применим при решении игры для исходных данных. Необходимо решать симплекс-методом. q1 = 150/727 (вероятность применения 1-ой стратегии). q2 = 86/727 (вероятность применения 2-ой стратегии). q3 = 491/727 (вероятность применения 3-ой стратегии). Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (150/727; 86/727; 491/727)