Задачи на составление дифференциальных уравнений

Таким образом, общее решение уравнения состоит из частных его решений. Однако при некоторых условиях уравнение может иметь решения, которые не включаются в общее решение ни при каких фиксированных значениях , в том числе при значениях Такие решения называются особыми решениями. Пример 3. Рассмотрим уравнение , где . Его общее решение задаётся формулой , . Однако данное уравнение имеет также решение, которое не входит в семейство ни при каких постоянных значениях . Итак, - особое решение уравнения.Для того, чтобы составить дифференциальное уравнение, удовлетворяющее определенному семейству кривых нужно, во-первых, определить формулой . Для получения дифференциального уравнения, продифференцируем это выражение по и избавиться от постоянной .Пример 4. Дано семейство полупрямых ; . Отсюда , тогда или, окончательно, . Требуемое уравнение получено.Рассмотрим уравнение в нормальной форме. (3)Пусть функция определена на некотором множестве изменения переменных и . Тогда в каждой точке этого множества уравнение (3) определяет значение, т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если в каждой точке множества задано значение некоторой величины, то говорят, что на этом множестве задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (3) определяет поле направлений. Получить наглядное представление о поле направлений уравнения (3) можно с помощью следующего процесса. Выберем некоторую точку множества , пусть её координаты есть . Построим отрезок с центром в этой точке так, чтобы угол наклона этого отрезка к положительному направлению оси удовлетворял условию (4)Если проделать такое построение для достаточно большого количества точек множества , то получим сеть отрезков, для каждого из которых тангенс угла его наклона к оси совпадает со значением функции в центральной точке отрезка. Построенная сеть отрезков и есть поле направлений уравнения (3).Проведём теперь на той же плоскости интегральную кривую уравнения (3). Пусть это будет график некоторого решения. Тогда выполняется тождество, следовательно, в точке получим: . Вспомним, что с геометрической точки зрения производная функции в некоторой точке – это тангенс угла наклона касательной к кривой, являющейся графиком данной функции, в этой точке. С точки зрения геометрии уравнение (3) говорит о том, что направление касательной в каждой точке интегральной кривой совпадает с направлением поля уравнения (3) в этой точке.Приближённо построить интегральные кривые на плоскости можно с помощью свойств функции , а также изоклин. Изоклиной уравнения (3) называется линия, задаваемая уравнением, (4)где - некоторая постоянная. Очевидно, что в каждой точке такой линии направление поля одинаково. Угол наклона поля на фиксированной изоклине находится из условияПридавая числу различные значения, определяем угол наклона поля на соответствующих изоклинах.Предположим, что на некоторых подмножествах множества функция сохраняет знак. Если на множестве, то и на множестве , тогда все интегральные кривые уравнения (1) на множестве направлены снизу вверх, т.е. решения уравнения возрастают. Аналогично, если на множестве , то и на множестве , тогда все интегральные кривые уравнения (3) на множестве направлены сверху вниз, значит, на этом подмножестве решения уравнения убывают. Определим возможное геометрическое место точек экстремумов решений уравнения (3). Пусть - решение уравнения, тогда в точке экстремума необходимо выполняется откуда следует, что в этой точкеЭто значит, что экстремумы решений (если они существуют) могут лежать только на линии Эта линия, очевидно, является изоклиной и называется изоклиной нуля. Выясним теперь, чем отличается геометрическое место точек минимума интегральных кривых уравнения (3) от геометрического места точек их максимума. Вспомним, что в точках минимума кривой выполняются условия и , а в точках максимума этой кривой – условия и . Вычислим тогда величину.В точках экстремума будет иметь место равенство Тогда в этих точках.Итак, геометрическое место точек минимума интегральных кривых уравнения (3) задаётся условиямии , а геометрическое место точек максимума – условиямии . Если же и - то получается геометрическое место точек перегиба интегральных кривых уравнения (3).Предположим далее, что функция на некоторых линиях принимает бесконечные значения. На таких линиях поле направлено вертикально. Чтобы не исключать эти линии из рассмотрения, используем уравнение .Используя всю полученную информацию, можно приближённо провести интегральные кривые уравнения (3) на плоскости.Пример 5.Приближённо построить интегральные кривые уравнения Поле направлений уравнения определено на всей плоскости , за исключением начала координат, где имеет место неопределённость вида. Для точек оси следует рассмотреть перевёрнутое уравнение Во всех точках оси направление поля параллельно оси . Интегральные кривые возрастают, когда и имеют разные знаки и убывают в противоположном случае. Изоклина нуля имеет вид . Для установления характера экстремумов определим величину Отсюда вытекает, что максимумы интегральных кривых расположены выше оси , а минимумы – ниже этой оси. Величина , значит, выше оси интегральные кривые выпуклы вверх, аниже этой оси –выпуклы вниз. Построим семейство изоклин. Оно будет иметь вид , следовательно, на прямой угол наклона поля равен , а на прямой он равен . Можно заметить также, что с возрастанием угол наклона поля увеличивается, а с убыванием - уменьшается. ЗаключениеВ работе проведено исследование дифференциальных уравнений, а также различных задач из разных областей, которые к ним приводят. Показаны и детально рассмотрены основные методы и подходы к решению таких задач. Рассмотрены обыкновенные дифференциальных уравнений первого порядка, дифференциальные уравнения в частных производных, уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения. В других главах рассмотрены решения геометрических и физических задач с помощью дифференциальных уравнений. Кроме того, что каждой главе приведены примеры с решениями, в последней главе приведены более сложные задачи с решениями, отражающие суть и способ рассмотренных подходов.Список литературыАрнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 4-е изд. - Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. - 308 с.Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: учеб.пособие / Ю.Н. Бибиков. – Изд. 2-е, стер. – СПб. [и др.]: Лань, 2011. – 304 с. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. А.Д. Мышкиса, О.А. Олейиик. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов. - 4-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М., Мир, 1970. - 720 с. Асланов Р.М. Дифференциальные уравнения: Учеб.пос. для высш. пед. учеб. заведений по спец-сти 030100 - "Информатика" / Р.М. Асланов, В.Л. Матросов, С.В. Матросов, А.В. Синчуков; Моск. пед. гос. ун-т. – М.: МПГУ, 2010. – 263 с. Асланов Р.М. Дифференциальные уравнения высших порядков: Теория. Примеры. Задачи: Учеб.пос. для мат. фак. пед. ун-тов и ин-тов / Р.М. Асланов, В.Л. Матросов, М.С. Сабуров. – М.: Прометей, 1999. – 448 с. Асланов Р.М. Т. 3: Дифференциальные уравнения, теория вероятностей и элементы математической статистики: Математика: Учебник для вузов по специальностям 050202 (030100). Моск. пед. гос. ун-т. – М.: МПГУ, 2008. – 374 с.