Произведение вектор и их использование в математике и экономике

Векторы так же широко применяются в теории относительности, квантовой физике, в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.2.6Пример решения произведения векторов в MathlabСкалярные произведения векторов и тензоров обычно инвариантны к вращениям в трехмерном пространстве, обеспечивая простой способ решения задач[13].Хотя нельзя сравнивать любые два вектора в смысле вышеприведенного порядка «>» или «≥», любые два (вещественных n-компонентных) вектора можно сложить, вычесть, любой вектор можно умножить на действительное число («скалярное число»). В этом контексте) и даже любые два n-компонентных вектора могут быть умножены в некотором смысле (давая «скалярное произведение», а неn-компонентный вектор как произведение) [14].В то же время, задачи с векторами, незавсисмо от того, умножение ли это, или деление, можно значительно упростить при помощи современных компьютерных технологий. Для этого, кроме вышеописанного Mathcad, применяется еще специальный математический пакет Mathlab. Внешний вид кода, при помощи которого можно определить результат умножения векторов, показан на рис. 11Рисунок 11 – Внешний вид кода для определения перемножения векторов Mathlab2.8 Пример перемножения векторов с помощью языка PythonВектор – это кортеж из одного или нескольких значений, называемых скалярами[15].Векторы построены из компонентов, которые являются обычными числами. Вы можете рассматривать вектор как список чисел, а векторную алгебру - как операции, выполняемые над числами в списке.Векторы часто представлены строчными буквами, такими как v; например:uгде v1, v2, v3 - скалярныезначения, частореальныезначения.Векторытакжепоказаны с использованиемвертикальногопредставленияилистолбца; например:При описании обучения алгоритма машинного обучения целевую переменную обычно представляют в виде вектора с строчной буквой y. Обычно вводят векторы, используя геометрическиеаналогия, где вектор представляет точку или координату в n-мерном пространстве, где n – это число измерений, например 2. Вектор можно также рассматривать как линию от начала векторного пространства с направлением и величина.Эти аналогии хороши в качестве отправной точки, но их не следует держать слишком жестко, так как часто приходиться рассматривать очень многомерные векторы в машинном обучении. Можно найти вектор как координату.Наиболее убедительная аналогия в машинном обучении. Теперь, когда мы знаем, что такое вектор, давайте посмотрим, как определить вектор в Python.Два вектора одинаковой длины можно умножить вместеКак и в случае сложения и вычитания, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор такой же длины.илиМожно также предложить вариантВ этой среде программирования можно выполнить эту операцию прямо в NumPy (рис. 12).Рисунок 12 – Пример векторного умножения.В примере определены два вектора с тремя элементами в каждом, а затем умножаются векторы.Выполнение примера сначала печатает два родительских вектора, затем печатается новый вектор.Рисунок 13 –Пример выходных данных векторного умножения.Можно вычислить сумму умноженных элементов двух векторов одинаковой длины, чтобы получить скаляр. Это называется точечным произведением, названным из-за оператора точки, используемого при описании операции.Точечное произведение является ключевым инструментом для вычисления векторных проекций, векторных разложений и определения ортогональности. Название продукта точка происходит от символа, используемого для его обозначения.Операция может быть использована в машинном обучении для вычисления взвешенной суммы вектора. Точечный продукт рассчитывается следующим образом:илиПри этом можно вычислить произведение точек между двумя векторами в Python, используя функцию dot (рис. 14)на массиве NumPy.Рисунок14– Пример векторного точечного произведения.В этом примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем вычисляется скалярное произведение. При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем скалярное произведение. Результат работы такой программы показана на рис.Рисунок 15 – Результат работы точечного произведения векторовВектор можно умножить на скаляр, по сути масштабируя величину вектора. Для простоты обозначений мы будем использовать строчные буквы s для представления скалярного значения.илиУмножение выполняется для каждого элемента вектора, чтобы получить новый масштабированный вектор такой же длины.Можно также предложить вариантМы можем выполнить эту операцию напрямую с массивом NumPy.Рисунок 16 – Пример векторного скалярного умножения.Вначале в примере определяется вектор, а затем скаляр умножается на скаляр. При выполнении примера сначала печатается родительский вектор, затем скаляр, а затем результат умножения показан на рис. .Рисунок 17 – Пример выходных данных векторно-скалярного умножения.Аналогично, вектор-скалярное сложение, вычитание и деление могут быть выполнены по одному и тому жепути.ЗаключениеВ заключении необходимо отметить, что в условиях современных организаций, как частных, так и государственных,математическое моделирование с использованием векторных произведений и применение его в различных сферах деятельности человекаактивно распространяется. Благодаря емуможно прогнозировать течение необходимых процессов с возможностью их оптимизации, что безусловно будет способствовать развитию организации в целом с увеличением его доходов.Также в данной работе показаны примеры программных кодов, реализованных при помощи математических моделей в разных средах программирования. Это является важным моментом, так как просто формулы являются мало актуальным направлением исследований, а возможность их компьютеризации позволяет в несколько раз повысить продуктивность расчетов и их качества также.В данной работе достигнута основная цель – описано произведение векторов и их использование в математике и экономике.В данном реферате были решены следующие задачи:приведеныосновные понятия, связанные с математическим моделированием и понятия векторов;описаныпримерыприменения математических моделей произведения векторов.Также в процессе написания реферата были использованы современные и классические источники литературы и глобальной сети Internet.Список использованной литературыШилкина Е.И., Дымков М.П., Рабцевич В.А. Высшая математика. Часть 1.Учебно-практическое пособие. - Минск.: БГЭУ, 2014.— 194 с.Макаров С.И. Математика для экономистов.Учебное пособие. М.: КНОРУС, 2008. - 264 с.Бидерман В.И. Математика: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебное пособие. — Хабаровск: Изд-во Тихо-океан. гос. ун-та, 2013. — 136 с.Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебно-практическое пособие. — Минск: БГЭУ, 2010. — 207 с.Kuttler K. CalculusofOneandManyVariables. BrighamYoungUniversity, 2019. — 735 p.Durrant A. VectorsforPhysicsandEngineering. BocaRaton: CRC Press, 2018. — 299 p.Ровба Е.А. и др. Высшая математика. Учебное пособие. — Минск: Выш. шк., 2012. — 391 с.Городенцев А.Л. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1. М.: МЦНМО, 2014.— 485 с.Сохарева М.А. История открытия скалярного произведения векторов. М.: Научный журнал, 2016. – С. 16–19Павлов К.В. Неевклидова экономика: проблемы и перспективы развития. Донецк: Экономический вестник Донбасса, 2018. – С. 209–211Su F. MasteringLinearAlgebra: AnIntroductionwithApplications. Chattilly: TheTeachingCompany, 2019. — 313 p. (Fibonacci-TypeSequencesas a VectorSpace)Шабалина Т.В.Применение элементов векторной алгебры в экономике. Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3Cline D. VariationalPrinciplesinClassicalMechanics. Rochester, NY: UniversityofRochesterRiverCampusLibraries, 2017. — 587 p. (ScalarproductVectorproduct)EichhornWolfgang, GleissnerWinfried. MathematicsandMethodologyforEconomics: Applications, ProblemsandSolutions. Springer, 2016. — 644 p. (VectorsProductionSystem)Lee H.-H. ProgrammingandEngineeringComputingwith MATLAB 2018. KS: SDC Publications, 2018. — 518 p. (ProductsofVectors)Brownlee J. BasicsofLinearAlgebraforMachineLearning. DiscovertheMathematicalLanguageofDatainPython. NewYork: JasonBrownlee., 2018. — 212 p. (Vector-ScalarMultiplication)