Понятие полезности при определении факторов риска.

В рамках теории проспектов [5] ДэниеляКанемана и Амоса Тверски предполагается, что люди по-разному реагируют на ситуации получения прибыли или потерь в зависимости от того, теряют они или выигрывают — это, так называемая, асимметричная реакция на изменение благосостояния. Они объясняют это тем, что человеческая психика воспринимает не столько абсолютное значение своего богатства, сколько его изменения, причем радость от прибыли воспринимается не так сильно, как горечь от потерь (по уровню значимости потери будут находиться выше, чем доход). На базе экспериментальных исследований теория перспективы делает парадоксальный вывод: люди более склонны брать на себя больший риск, чтобы избежать потерь, нежели чтобы получить дополнительную премию. Согласно исследованиям, была построена S-образная ассиметричная функция полезности. По сравнению с функцией полезности, согласно пониманию Бернулли, теория перспектив (проспектов) Канемана-Тветски дает нам, так называемую, «функцию полезности» воздействия убытков и прибылей на людей, принимающих решения. Функция полезности Бернулли основана на объективном уровне благосостояния индивида и рассматривает только положительные значения, тогда как функция полезности Канемана-Тверски основывается на субъективно определенной точке отсчета, относительно которой она рассматривает как прибыли, так и убытки. Эта функция выглядит по-разному для прибылей и убытков. Эта функция более “крута” в области потерь по отношению к некоторой точке отсчета, взятой за ноль.Такая форма функции соответствует так называемым “эффекту отражения” и “неприятию потерь”. Поскольку угол ее наклона растет в области прибылей, когда возможные результаты решений воспринимаются как прибыли различной степени, функция полезности приводит к тому, что лицо, принимающее решение, становится несклонным к риску. Поскольку угол наклона снижается в области потерь, когда возможные результаты решений воспринимаются как потери различной степени, функция полезности побуждает лицо, принимающее решение, рискнуть.Итак, функция U(t) возрастающая, вогнутая при t≥0 и выпуклая при t≤0. При этом U(0)=0, U'(0)=1.Для оценки риска будем рассматривать следующие функции полезности: Квадратичная функция,                       Свойства функции полезности выполняются при a+, a-  ∈ (0;1/2]. Кубическую функцию,       Где a+, a-, b+, b-  >0 Экспоненциальная функцияГде параметры a+, a->0 Доходность финансовых инструментов χ представляет собой непрерывную случайную величину с функцией распределения. Под мерой риска будем понимать численную характеристику, позволяющую судить о величине или значимости риска ψ: χ →ψ (χ). Меры риска, базирующиеся на функции полезности, рассматривается как - интеграл Стилтьеса от функции U(t) по F(t), где (-p,p) множество значений показателя доходностей. Соответственно для данных функций полезности мера риска имеет вид:Параметры представленных мер риска означают склонность инвестора к риску. Чем меньше этот параметр, тем более склонен инвестор к риску. Для принятия решения используется двухэтапная оптимизационная задача. На первом этапе находятся портфели с минимальным значением меры риска за длительный период T для каждого сочетания параметров. На втором этапе вычисляется показатель доходности найденных ранее портфелей за следующий за T более короткий промежуток времени d и выявляются более эффективные параметры мер риска. Показатель доходности портфеля определяется как: ,где – цена портфеля в период времени T, приведенная к начальному периоду, при этомОтрезок (-р,р) разбивается на h равных частичных отрезков с определенным  шагом Δt . Вычисляются статистические оценки вероятностей попадания значений t в частичные отрезки [1].  Оценка математического ожидания определяется как сумма произведений возможных значений t на оценки вероятностей попадания их в отрезки Δt, где f(t) – плотность распределения случайной величины χВид функции полезности может дать информацию об отношении к риску лица, принимающего решение.• Утверждение 1. Лицо, принимающее решение, не подвержена риску тогда и только тогда, когда ее функция полезности выпуклая вверхУтверждение 2. Лицо, принимающее решение, подвержена риску в том и только в том случае, когда ее функция полезности выпуклая вниз.При различных уровнях дохода (богатства) отношение человека к риску может меняться. Достаточно реалистичной гипотезой для широкого круга субъектов является склонность к риску при небольших суммах (относительно общего достатка) и неподверженность при значительных суммах:ЗаключениеМожно сделать вывод, что отношение к риску — это локальная характеристика личности. Если человек более состоятельный, то она может позволить себе рискнуть большей суммой. Неподверженность (или нейтральность) к риску используется страховыми компаниями, которые скупают риск. Склонности к риску функционирует игорный бизнес.Нейтральность к риску. Промежуточное значение между склонностью и несклонностью к риску играет нейтральность (равнодушие) к риску. Она определяется равнодушием лица в выборе между получением гарантированной суммы, которая совпадает с среднеожидаемым выигрышем, и участием в лотерее.Очевидно, чтоа) функция полезности для лица, нейтральной к риску, является линейной,есть б ) условие безразличия к риску:в) величина ожидаемого выигрыша совпадает с детерминированным эквивалентом лотереи , а потому премия за рискСписок использованной литературы:Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов/В.Е.Гмурман – М.:Высш.шк.,2003. – 479 с.Дж. фон НЕЙМАН. Теория игр и экономическое поведение: учебное пособие. / Дж. фон НЕЙМАН, О. МОРГЕНШТЕРН – M.: НАУКА, - 1970, -  983 c. Малыхин, В.И.Финансовая математика. : учебник/ Малыхин В.И. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2003. — 237 с.Шоломицкий, А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска: учебное пособие / Шоломицкий А.Г.  - М.: ГУ ВШЭ, 2005. -  400 c Kahneman, D.  ProspectTheory: ananalysisofdecisionunderRisk./D.Kahneman, A.Tversky.//Econometrica. – 1979 - № 47 – С. 263-291