ТЕОРИЯ ИГР

Объединим алгоритмы в одной таблице (таблица 2.3), где – оценочная функция – функция, соответствующая каждому варианту и характеризующая в целом все последствия выбора этого варианта (решения). Разбор стратегий приведен в таблице 4Таблица 4. Разбор стратегийНазвание стратегииКритерийОписаниеСтратегия компромисса междуоптимистическим и пессимистическим подходами (Критерий Гурвица) соответствуют «стратегии пессимизма», а величина – «стратегии оптимизма», а сумма этих величин дает оценку компромиссаСтратегия оптимизма (азартного игрока)Из матрицы решений выбирается максимальный элементСтратегия пессимизма (Критерий Вальда)Гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрышСтратегиянейтралитета (Критерий Байеса)Все встречающиеся отклонения от среднего допустимы и выбор параметров с этой точки зрения - оптимальныйСтратегия относительного пессимизма (Критерий Сэвиджа)Оцениваются потери по сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов выбирает наилучший результатВыбор оптимального варианта производится следующим образом:,т.е. множество оптимальных вариантов состоит из тех вариантов , которые принадлежат множеству вариантов , и оценка , которая выбрана среди всех оценок в соответствии со стратегией (см. таблицу 2.3).Метод усредненного критерия [7]Каждому критерию назначается весовой коэффициент . В результате:Оптимальным решением будет:.Метод свертки ГермейераКаждому критерию назначается весовой коэффициент и решение выбирается из наихудших вариантов:Метод -ограниченийРешаем следующие задач:Пусть - единственное глобальное решение задачи. В результате получаем однокритериальную задачу, в которой один из критериев (например, -й критерий) используется как целевая функция, а остальные – как дополнительные ограничения. Тогда решается следующая задача:где удовлетворяют:Нелинейная схема компромиссовРассмотрим нелинейную схему компромиссов из [8] для нашей задачи.В данной работе введено понятие напряженности ситуации как меры близости относительных частных критериев к своему предельному значению (единице):Напряженной ситуацией будет считаться случай, когда близок нулю, а спокойной – к единице.Выражением схемы компромиссов в случае напряженной ситуации () является модель на основе минимаксной стратегии (обратная пессимистической стратегии в п.1):В случае , т.е. спокойной ситуации, схема компромиссов выражается моделью интегральной оптимальности:Нелинейной схеме компромиссов соответствует модель векторной оптимизации, в явном виде зависящая от характеристик напряженности ситуации :(3)Практическая часть2.1 Решение многокритериальной задачиДля решения задачи с помощью нелинейной схемы компромисса, проведем оценку полученных (с помощью методов, перечисленных в таблице 2.9) оптимальных весовых коэффициентов важности. Для получения нормализованных оценок в таблице 2.11 была использована шкала Харрингтона [9], интервалы которой были умножены на максимальное среднее значение в таблице 5 для получения новой подходящей шкалы.Для поиска весовых значений второй целевой функции будет использоваться симплекс-метод (см. таблица 5).Таблица 5. Поиск весовых значений№ЭтапКритерий ГурвицаКритерий СэвиджаМетод усредненного критерияМетод свертки ГермейераСреднееОценка1Изготовление механических деталей0,40,20,40,20,352Сборка0,250,1670,250,1670,20943Монтаж0,1660,0830,1660,0830,12534ПСИ0,3340,1670,3340,1670,255Шкала оценок представлена в таблице 6.Таблица 6. Шкала оценокБалл12345Интервал оценок0-0,20,2-0,370,37-0,630,63-0,80,8-1Новый интервал оценок0-0,060,06-0,1110,111-0,1890,189-0,240,24-0,3С помощью прямого метода определения коэффициентов важности [13] вычислим коэффициенты для каждого этапа производства на основе оценок в таблице 2.11 (по принципу чем выше оценка, тем выше важность):Преобразуем запись в систему и решим ее:Пусть частный критерий , рассчитываемый для каждого этапа производства, будет равен линейной свертке [10] рассмотренных в 2.2 целевых функций и :,где, .Найдем с помощью метода линейного программирования, для этого сначала составим матрицу А (таблица 7), где – общее количество дефектов, – количество дефектов, которые можно исправить, – количество дефектов, которые невозможно исправить. Эти значения поделены на количество выпущенной готовой продукции n=8.Таблица 7. Матрица АКонструктивные0042/8=5,2518/8=2,2524/8=3Эргономические0042/8=5,2518/8=2,2524/8=3Эстетические0042/8=5,2518/8=2,2524/8=3Технологичности0042/8=5,2518/8=2,2524/8=3Рассчитаем по формуле (2.2) и примем для примера , n=8. Значения затрат и вычисленные приведены в таблице 8. Значения затрат и функцииТаблица 8. Значение затратГруппа затрат ЗначениеЗначение66953000,14944605000,09938305000,08528600000,06412510000,028В таблице 8 приведены вычисленные оптимальные значения с помощью симплекс-метода в среде MATLAB. Данную систему можно представить в математическом виде:Использовался следующий программный код (5):Рисунок 5. Программный кодВ таблице 9 – ограничения, которые ставятся по следующему правилу: если частные значения i-го уравнения отличаются от 1, мы должны поставить справа среднее значение этих величин со знаком ≥; если все частные значения i-го уравнения равны 1, то справа мы ставим число 1 со знаком ≤; если уравнение имеет одну переменную, то ограничение ставится со знаком ≤, со значением переменной. Таблица 9. Симплекс методКонструктивные005,252,253≥2,1Эргономические005,252,253≥2,1Эстетические005,252,253≥2,1Технологичности005,252,253≥2,111111=111000≤0,4Найденные оптимальные значения 0,400,600Таким образом .Рассчитаем по формуле (2.1) для каждого этапа и примем для примера . Дальнейшие расчеты приведены в таблице 10.Таблица 10. Расчет оценки качестваЭтап производстваИзготовление механических деталей0,50,2940,1470,1110,4741,900Сборка0,8330,2350,1960,1110,5012,004Монтаж0,1670,1770,0290,1110,4081,689ПСИ0,8330,2940,2450,1110,5282,121Для получения качественной оценки необходимо модель (2.3) привести к скалярной свертке:,а затем его нормировать:.ЗаключениеВ приведённых задачах условно оптимальные значения целевых функций находились с помощью симплекс метода. Суть симплекс метода заключается в замене базисных координат на не базисные для минимизации разницы между левыми частями и правыми частями матрицы , данная операция необходима для обеспечения сходимости целевой функции к крайним значениям многогранника, где, как известно целевая функция принимает свои максимальные или минимальные значения. При поиске условно оптимальной целевой функции (в данном случае ) могут возникать следующие моменты:оценочное значение (где i-ые индексы это координаты небазисных векторов столбцов) при которых найденная точка есть решение задачи линейного программирования;существует номер , такой, что( где- это координата небазисного вектора), , в этом случае нижнего предела целевой функции не существует;существует номер , такой что , в этом случае целевую оценку можно минимизировать за счет замены базисных координат на небазисные.Список литературыТатарников О. В. и др. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРАКТИКУМ. – 2017.Соколинская И. М., Соколинский Л. Б. О решении задачи линейного программирования в эпоху больших данных //Параллельные вычислительные технологии–XI международная конференция, ПаВТ. – 2017. – С. 471-484.Зоркальцев В. И. Метод внутренних точек: история и перспективы //Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2019. – Т. 59. – №. 10. – С. 1649-1665.Моисеев Н., Иванилов Ю., Столярова Е. Методы оптимизации. – Litres, 2017.Шагин В. Л. Теория игр //Если. – 2016. – Т. 1. – С. 2.Лемешко Б. Теория игр и исследование операций. Конспект лекций. – Litres, 2018.Тебекин А. В. Методы принятия управленческих решений. – 2017.Силкина Г. Ю. Методы принятия решений: Учебное пособие. – 2017.Ванин А. В., Воронов Е. М., Серов В. А. Разработка метода многокритериальной оптимизации иерархической системы управления на основе координированных стабильно-эффективных компромиссов //Вестник Московского государственного технического университета им. НЭ Баумана. Серия «Естественные науки». – 2018. – №. 6 (81).Макарова, Л. В., Р. В. Тарасов, and К. С. Полянскова. "МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ОЦЕНКЕ УРОВНЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ СТРОИТЕЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ." Успехи современной науки 4.1 (2017): 137-139.