Исследование экстремальности функции различных физических функций в механике

Так, при имеем , из чего следует, что ; при имеем , т.е. .
Задачу на принцип максимума можно решить другим методом, вводя вместо функции Лагранжа вспомогательную функцию Понтрягина:

(25)

В уравнении (21) сопряженные функции и являются аналогами множителей Лагранжа , (14) и определяются следующей системой уравнения:

(26)

из которой следует где и - произвольные постоянные.
Сформулируем основное условие, которому должно удовлетворять функция управления , в виде теоремы о максимуме.
Теорема о максимуме: если - оптимальное управление, то в этом случае функция (21) имеет максимум, т.е.

(27)

Сопряженной переменной , соответствующей функционалу , полагают откуда следует Таким образом, задача сводится к однопараметрической краевой задаче по выбору произвольной постоянной , чтобы удовлетворить краевому условию .
Благодаря использованию принципа максимума, исходная задача сводится к решению краевой задачи для системы обычных дифференциальных уравнений.
Принцип максимума эквивалентен классическому вариационному исчислению систем линейных по управлению . Этот результат верен и для выпуклой области управления .
Во всех остальных случаях принцип максимума позволяет определить экстремум для более широкого класса функций на произвольно ограниченной области управления.
Общая формулировка задачи Понтрягина и принципа максимума дана в работе .
Рассмотрим изопараметрические задачи, в которых требуется определить экстремум функционала при наличии изопараметрических условий, имеющих вид

(28)

где - постоянные.
Рассмотрим стержень прямоугольного поперечного сечения (Рис. 4), несущего распределенную массу и загруженного продольной силой, при условии, что величины массы и продольной силы могут изменяться в пределах длины стержня, граничные условия при этом произвольные.
Требуется решить задачу поиска минимальной материалоемкости стержня с учетом ограничения первой частоты собственных колебаний.
Согласно работе, варьируемыми параметрами в этом случае являются поперечные размеры стержня и , а функционалом – объем материала стержня:

(29)

где - объем материала стержня; - длина стержня.
Ограничения по устойчивости или на низшую частоту собственных колебаний в главных плоскостях инерции запишем в следующем виде:



Рис. 4. Схема рассматриваемого стержня [7].


(30)

где - заданная частота; - установленный коэффициент запаса; - собственные низшие частоты колебаний в главных плоскостях инерции.
Перепишем ограничения (26) в виде равенств:

(31)

Соответственно, в рассматриваемой задаче требуется отыскать функции и , придающие функционалу (25) минимальное значение при условии выполнения ограничения (27).
При выполнении ограничения (27), соответствующие энергетические функционалы принимают нулевые значения. Поэтому, сформулируем функционал так, чтобы его экстремум при варьировании параметров и обеспечивал минимум и нулевые значения энергетических функционалов:
(32)

где

(33)

- площадь поперечного сечения; - модуль упругости; - плотность материала стержня; - ординаты первых форм собственных колебаний в главных плоскостях инерции; параметры и представлены на Рис. 4.; и - энергетические функционалы собственных колебаний в главных плоскостях инерции; и - соответствующие моменты инерции сечения.
Принимая во внимание вышеизложенное, получаем

(34)

где - неопределенные множители.
Таким образом, рассматриваемая задача относится к классу изопараметрических задач, являются постоянными величинами.
Экстремум функционала (3) определяется решением уравнения

(35)

где - соответствующие вариации функционала по и .
Итак, в этой главе были рассмотрены классы задач механики, которые решаются посредством нахождения экстремума. К ним относятся:
1. нахождение геодезической линии;
2. принцип максимума (задача Понтрягина);
3. изопараметрические задачи.























ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теоретическая механика является одним из самых разработанных и старейших разделов теоретической физики. Собственно возникновение математического анализа тесно связано с решением задач классической механики.
Многие задачи классической механики сводятся к нахождению максимума и минимума функционала, т.е. экстремума функционала.
В данной работе было рассмотрено три класса таких задач:
1. нахождение геодезической линии;
2. принцип максимума (задача Понтрягина);
3. изопараметрические задачи.
Рассмотренные задачи в конечном итоге сводятся к проблеме нахождения безусловного экстремума с помощью принципа Лагранжа. С применением принципа Лагранжа можно решить широкий круг сложных задач, в том числе и с уравнениями в частных производных.
Основной проблемой задач с фазовыми ограничениями, например задачи Понтрягина, является исследование геометрии оптимальной траектории, под которой понимается тип контакта фазовой траектории с имеющимися ограничениями типа неравенств и момента схода с ограничений. Этот вопрос пока далек от решения.
В теории оптимального управления единственный способ найти решения задачи и описать ее свойства – это использовать принцип максимума.
Стоит отметить, что многие задачи оптимального проектирования строительных конструкций могут быть сформулированы в терминах теории оптимального управления, и для их решения можно использовать метод динамического программирования, в случае дискретных задач, и принцип максимума Понтрягина для непрерывных задач.
При этом не следует полагать, что принцип максимума играет более значительную роль в теории оптимального управления, чем в вариационном исчислении, поскольку между ними не существует четкой границы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Сенкевич Г.И. Историография математического анализа: сборник «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» / Вып. 20. – СПб: Изд-во СПбГАСУ, 2014. – С. 3-22.
2. Долгаров И.А. История математики. – Режим доступа: https://dep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/dolgarev_istoriya_matematiki_(uchebnoe_posobie).pdf (дата обращения 31.05. 2020).
3. Предварительные сведения. – Режим доступа: http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/06/h.htm (дата обращения 31.05. 2020).
4. Лекция № 9. Экстремумы функции. – Режим доступа: https://www.toehelp.ru/theory/math/lecture09/lecture09.html (дата обращения 31.05. 2020).
5. Дикусар В.В. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Соровский образовательный журнал. – 1999. - № 1. – С. 117-123.
6. Необходимое условие экстремума / А.П. Афанасьев [и др]. - М.: Наука, 1991. – 320 с.
7. Ляхович Л.С., Акимов П.А., Тухфатуллин Б.А. О задачах поиска минимума и максимума в строительной механике // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2017. – V. 13. – I. 2. – P.118-119.
8. Кирсанов М.Н. Генетический алгоритм оптимизации стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений. – 2010. - № 2 (229). – С. 60-63.
9. Эсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эсгольц. – М.: Эдиториал УРСС. – 2000. – 320 с.
10. Белламан Р. Динамическое программирование / Р. Белламан. – М.: Иностранная литература. – 1960. – 400 с.




Сенкевич Г.И. Историография математического анализа: сборник «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» / Вып. 20. – СПб: Изд-во СПбГАСУ, 2014. – С. 3-22.
Долгаров И.А. История математики. – Режим доступа: https://dep_msm.pnzgu.ru/files/dep_msm.pnzgu.ru/dolgarev_istoriya_matematiki_(uchebnoe_posobie).pdf (дата обращения 31.05. 2020).
Предварительные сведения. – Режим доступа: http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/06/h.htm (дата обращения 31.05. 2020).
Лекция № 9. Экстремумы функции. – Режим доступа: https://www.toehelp.ru/theory/math/lecture09/lecture09.html (дата обращения 31.05. 2020).

Дикусар В.В. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Соровский образовательный журнал. – 1999. - № 1. – С. 117-123.
Необходимое условие экстремума / А.П. Афанасьев [и др]. - М.: Наука, 1991. – 320 с.
Ляхович Л.С., Акимов П.А., Тухфатуллин Б.А. О задачах поиска минимума и максимума в строительной механике // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2017. – V. 13. – I. 2. – P.118-119.
Кирсанов М.Н. Генетический алгоритм оптимизации стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений. – 2010. - № 2 (229). – С. 60-63.
Эсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эсгольц. – М.: Эдиториал УРСС. – 2000. – 320 с.
Белламан Р. Динамическое программирование / Р. Белламан. – М.: Иностранная литература. – 1960. – 400 с.












6