Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка. Преобразование в сферические координаты. Сферические функции, их свойства. Уравнение Лежандра. Многочлены Лежандра, их свойства. Пример решения задачи.

Название продукта точка происходит от символа, используемого для его обозначения.Операция может быть использована в машинном обучении для вычисления взвешенной суммы вектора. Точечный продукт рассчитывается следующим образом:илиПри этом можно вычислить произведение точек между двумя векторами в Python, используя функцию dot (рис. 14)на массиве NumPy.Рисунок14– Пример векторного точечного произведения.В этом примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем вычисляется скалярное произведение. При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем скалярное произведение. Результат работы такой программы показана на рис.Рисунок 15 – Результат работы точечного произведения векторовВектор можно умножить на скаляр, по сути масштабируя величину вектора. Для простоты обозначений мы будем использовать строчные буквы s для представления скалярного значения.илиУмножение выполняется для каждого элемента вектора, чтобы получить новый масштабированный вектор такой же длины.Можно также предложить вариантМы можем выполнить эту операцию напрямую с массивом NumPy.Рисунок 16 – Пример векторного скалярного умножения.Вначале в примере определяется вектор, а затем скаляр умножается на скаляр. При выполнении примера сначала печатается родительский вектор, затем скаляр, а затем результат умножения показан на рис. .Рисунок 17 – Пример выходных данных векторно-скалярного умножения.Аналогично, вектор-скалярное сложение, вычитание и деление могут быть выполнены по одному и тому жепути.2.4 Пример решения задач интерполяционных многочленов ЛежандраМногочлены минимальной степени, приближающие данные значения на заданном набореточек.Пусть даны пары чисел , где все 𝑥𝑖 – различны. Тогда существуетединственный многочлен 𝐿(𝑥) степени не более 𝑛, для которого .Попытаемся построить базисные функции 𝑙0(𝑥), 𝑙1(𝑥), ..., 𝑙𝑛(𝑥), такие, что𝑙𝑖(𝑥𝑗) ={︃1, 𝑗 = 𝑖0, 𝑗 ̸= 𝑖Т.е., 𝑖-ая базисная функция равна нулю во всех узлах интерполяции, кроме 𝑖-ого, где онаравна единице.Имея такие базисные функции, мы можем сконструировать интерполирующую функциютак:Рассмотрим для иллюстрации простой пример (см. рис.7): известны значения функции в точках 1, 2, 4; они равны 1, 1/3 и 1/5 соответственно. Требуется найти многочлен, проходящийчерез эти точки.Таким образом, известна такая таблица значений функции:Из общих соображений понятно, что будет достаточно многочлена второго порядка. Попытаемся сконструировать его на основе трёх вспомогательных функций 𝑙0(𝑥), 𝑙1(𝑥), 𝑙2(𝑥), удовлетворяющих условиям: 𝑙0(𝑥) равна нулю в точках 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 4 и единице – в точке 𝑥0, 𝑙1(𝑥)равна нулю в точках 𝑥0 = 1, 𝑥2 = 4 и единице – в точке 𝑥1, 𝑙2(𝑥) равна нулю в точках 𝑥0 = 1,𝑥1 = 2 и единице – в точке 𝑥2.Тогда искомый многочлен можно выразить как суммуи он будет, очевидно, принимать в заданных точках нужные значения.Рисунок Базисные функции 𝑙0(𝑥), 𝑙1(𝑥), 𝑙2(𝑥)для заданных точек 1, 2, 4Рисунок (b) Интерполирующий многочлен 𝐿(𝑥)и его составляющиеТеперь уже становится понятно, что в общем случае интерполирующая функция будетиметь такой вид:Она называется интерполяционным многочленом ЛежандраТаким образом, получив выше уравнение прямой, проходящей через два заданных значенияв данных точках, мы фактически нашли интерполяционный многочлен Лежандра первогопорядка.ЗаключениеВ заключении необходимо отметить, что в условиях современных организаций, как частных, так и государственных,математическое моделирование с использованием векторных произведений и применение его в различных сферах деятельности человекаактивно распространяется. Благодаря емуможно прогнозировать течение необходимых процессов с возможностью их оптимизации, что безусловно будет способствовать развитию организации в целом с увеличением его доходов.Также в данной работе показаны примеры решения задач, реализованных при помощи математических моделей в разных средах программирования. Это является важным моментом, так как просто формулы являются мало актуальным направлением исследований, а возможность их компьютеризации позволяет в несколько раз повысить продуктивность расчетов и их качества также.В данной работе достигнута основная цель – описаныдифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка, сферические функции и уравнения Лежандра. В данном реферате были решены следующие задачи:приведеныосновные понятия, связанные с математическим моделированием и дифференциальных уравнений 2-порядка;описанопреобразование в сферические координаты;описаны сферические функции и их свойства,описаноуравнение Лежандра;описаны многочлены Лежандра, их свойства;приведен пример решения задачи.Также в процессе написания реферата были использованы современные и классические источники литературы и глобальной сети Internet.Список использованной литературыДифференциальное уравнение в частных производных– Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное уравнение в частных производных, свободный. – Загл. с экрана.Сферические функции– Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Сферические_функции, свободный. – Загл. с экрана.Многочлены Лежандра – Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Многочлены_Лежандра, свободный. – Загл. с экрана.Мусин Н.М. Решение задач по уравнениям математической физики с применением математических пакетов. Учебно-методическое пособие. - Новомосковск: НФ УРАО, 2010. – 41 с.Архаров Е.В. (сост.) Учебно-методический комплекс по дисциплине Математика. Н.Новгород: МИИТ, 2011. – 713 с.Яновский Л.П. Детерминированные методы в экономике и финансах. Воронеж, 1999. – 425 с. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Физматлит, 2005. — 480 с.