Изучение элементов комбинаторики и основ теории вероятностей в старших классах на основе факультативного курса

Такие графики отличаются друг от друга только последовательностью сюжетов.Таким образом, n элементов называется любой упорядоченный набор n элементов.Каждая перестановка состоит из всех n элементов множественного числа, но разные перестановки отличаются только порядком элементов.Количество перестановок из n элементов обозначаетсяPn. В-Первая буква французского слова"перестановка".И, как мы заметили-формула количества перестановок без дубликатов (т.е. каждый элемент, существующий в единственном экземпляре).Продолжение к задачам, которые мы рассматривали ранее.Количество различных пятизначных чисел, которые могут быть сложены из числа 1, 2,3, 4, 5 без дубликатов в одном из них, равно5!А количество методов подготовки графика по шести предметам равно 720. (1 урок можно положить в 6 вариантов. Второй урок может положить любой из оставшихся 5, и т.д. ... Таким образом, общее количество способов, с помощью которых вы можете положить все 6 уроков: 6.5.4 и 3.2 - 720, или 6!Рассмотрим еще несколько примеров:Сколько одиночных чисел можно сложить с цифры?Ответ. Один (3).Сколько двузначных чисел можно сложить с 5, 6 цифрами, чтобы цифры не повторялись?Ответ.Два (56 и 65)Сколько трехзначных чиселможет быть составлено из чисел 1, 2, 7, чтобысделать номера повторить?Решения. Из элементов множественного числа а 1, 2, 7 вы можете сформировать шесть перестановок: (1, 2, 7), (1, 7, 2), (2, 7, 1), (7, 1, 2, 1).Характерные признаки перестановок без повторов:1. Элементы различны.2. Количество предметов и количество мест одинаковы3. Важно ею заказать элементы. Вывод: из всех n элементов некоторой формы набораPnn!N-Элемент набора3. Размещение (без повторений)И если мы выберем не все, кроме м элементов из существующих n элементов и сформировать M-элемент ы наборы (n m),сколько их будет? Такие упорядоченные подмножества называются размещением отnэлементов наэлементах m.Количество объявлений n элементов по m обозначается символом.Например: Рассмотрим набор «A, n, c» и напишите размещение элементов набора два: AB, B, как, SA, быть, CB. Таким образом, No 6.Рассмотрим задачу: сколько трехзначных чисел можно сложить из числа 1, 2, 3, 4, 5, чтобы цифры в записи не повторялись? Ответ на эту задачу и будет номер заказанных трехэлементных наборов, которые мы выберем из указанных пяти элементов (1, 2, 3, 4, 5 цифр) На первом месте можно поставить одну из пяти фигур, вторую из четырех оставшихся, третью из трех. Мы используем правило продукта и находим 5 и 4 и 3 и 60. Таким образом, No 5 и 4 и 3 и 60. Поэтому формула, по которой вы можете рассчитать количество объявлений:= n · (n – 1) · (n – 2) ·... · (n - m +1), То есть количество объявлений из n элементов M равно продукту м последовательных естественных чисел, большинство из которых N.Такие, как:Если р-м м,то у нас есть рп и пнп. , то есть перестановка - отдельный случай размещения.Характерные признаки объявлений без повторов:1. Элементы различны.2. Количество предметов больше, чем количество мест.3. Важно ею заказать элементы. Вывод:из всех n элементов определенного набора можно сформировать упорядоченные наборы m-элемента. Размещение и перестановки обязательно учитывают порядок элементов.Вопросы самоконтроля к теоретическому материалу1. Что называется факторным числомn? Приведем пример.0!2.Объясните, что называется перестановкойэлементов(Без дубликатов).3. По какой формуле высчитывается количество перестановок?4.какой набор называется упорядоченным.5.Сколько я могу получить перестановки от3,из 5,nэлементов?Примеры задачПример1.Сетки различных шестизначных чисел, которые можно сложить с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторяя их в одном номере?Решение.P6- 6!Ответ: 720.Пример2: В нескольких отношениях, вы можете вышить девятьстудентов в колонке один на то же самое?Решения. Количество методов равно количеству перестановокдевятиэлементов.Это 9! 362 880Ответ: 362 880Пример3:Рассчитайте.1) ; 2); 3)стр.4-Р34); 5); Решения.1)2)3) P4-Р3 - 4! - 3!.(4-1) No 3!.3 и 1.2.3.3 и 1845) ;Ответ: 1) 100; 2)5 3)184)120 5) 72.Пример 4.Ольга вспоминает, что телефон подруги заканчивается номером 5, 7, 8, но забыл, в каком порядке размещаются эти цифры.Ответ: 3! 6Пример 5. Как можно посадить несколько способов 4 ученика в 25 местах?Ответ:.Пример 6.В нескольких отношениях, с 6 объектами, вы можете сделать такой график, в котором алгебра и геометрия стоят рядом с вами?Решение. Мы будем рассматривать алгебру и геометрию как один объект, тогда всего элементов будет пять. Количество способов, которыми можно сделать график 5 объектов, равно 5!. Но в каждой из этих перестановок, алгебра и геометрия могут меняться местами. Поэтому желаемое количество графиков в два раза больше. Это равно 5! 2 и 240.Апробация курсаПосле выполнения заданий итоговой контрольной работы учащиеся сохраняют файл, в котором проводились все вычисления, в заранее созданную папку со своей фамилией на рабочем столе. После урока учитель собирает с каждого рабочего места учащегося работы.Анализ контрольной работыПри проверке работ учащихся, нами были использованы следующие критерии оценивания: оценка «отлично» ставится, если безошибочно выполнены любые пять заданий из шести; оценка «хорошо» ставится за выполнение четырех любых заданий, возможно с одной вычислительной ошибкой при верном ходе рассуждений; оценка «удовлетворительно» - за выполнение трех любых заданий, возможно, с вычислительной ошибкой.Итоги контрольной работы были сведены нами в таблицы.Таблица 4.Итоги контрольной работыФамилияОценкаАнциферова Валерия4Беркович Мирон4Выборов Даниил4Г авшина Елена4Г орбункова Анна5Данилова ДарьяупДосова Алина4Друшлякова АнжеликаупКазагачева Динара4Каратеев ДмитрийупКисилев Никита3Колесова Яна4Кучина Яна5Леонов Роман4Леттер ЯковупЛиханова Диана3Лобашева ЮлияупОсипов Павел3Осокина Виктория4Петров ВладимирупПлехова Дарья5Попова АннаупСавин Сергей4Селезнева Татьяна5Синельникова Дарья5Техова Екатерина5Устюженко Мария4Шабанова Анастасия5Уп- отсутствовал по уважительной причине.Таблица 5.Мониторинг успеваемостиоценка«2»«3»«4»«5»отсутствовалколичество031177Мониторинг успеваемости учащихся по итогам контрольной работы показал довольно высокий уровень усвоения материала. Троек - 3, четверок - 11, пятерок - 7. Таким образом, успеваемость составила 100%, а качество - 86%.Выводы по Главе 2В работе нашли отражение рекомендации, которые помогут учителям- предметникам в составлении программ по теории вероятностей.Так, в ходе изложения материала следует стремиться к достижению поставленных образовательных целей:Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое).Сформировать знание основных операций над событиями.Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей. Показать их применение в ходе решения практических задач.Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий а) по классическому определению вероятности; б) по теории сложения и умножения; в) по формуле полной вероятности.Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.Помимо образовательных, следует стремиться к достижению развивающих и воспитательных целей.К развивающим целям можно отнести:Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету.Выявлять и развивать математические способности учащихся.В процессе обучения развивать мышление школьников.Развивать умение объяснить факты, связи между явлениями.Развивать умение видеть сходство и различие явлений.К воспитательным целям можно отнести:Сформировать у школьников нравственные и эстетические представления мире.Формировать потребности личности, мотивы социального поведения.Воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.На основе перечисленных рекомендаций, в работе нашли отражение разработки уроков. Данные уроки были составлены в рамках элективного курса по стохастике для старших школьников, и могут быть использованы учителями-предметниками в качестве примера для составления поурочных планов по данному курсу.ЗаключениеНа сегодняшний день комбинаторика, статистика и теория вероятностей занимают важное место в прикладной деятельности и науке. Методы данных областей математики применяются во всех естественных и технических науках, экономике, планировании, организации связи, производства, а также таких далеких, казалось бы, от математики науки, как археологии и лингвистике. В развитом обществе предъявляются довольно высокие требования к каждому его члену, относящиеся к возможности анализа случайных факторов, оценки шансов, выдвижению гипотез, прогнозирования развития ситуации и, наконец, принятия решения в ситуации, имеющей вероятностный характер. Поэтому было принято принципиальное решение о введении элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьное математическое образование. В данной работебыла проведена характеристика темы «Стохастика» в школьном курсе математики. Было изучено и проанализировано содержание школьных учебников и пособий, методической и психолого-педагогической литературы, статей, веб-сайтов по теме «Стохастика»; проанализировано влияние изучения темы «Стохастика» на всестороннее развитие учащихся; изучены государственные стандарты образования по данной теме; изучены основные методы решения комбинаторных задач и методы решения олимпиадных задач.Для формирования представлений о стохастике у обучающихся мы предлагаем использовать факультативный курс. Цель факультативного курса:• ознакомить учащихся с основными понятиями и идеями этого раздела математики, показать его логическое построение, сформировать целостное представление о нем;• формировать умение вычислять относительную частоту и вероятность события, пользуясь их определению и комбинаторными схемами;• формировать умение находить числовые характеристики выборки данных, а также читать и строить графическое представление информации о выборке;• проследить историческое развитие теории вероятностей;• помочь осознать, что многие законы природы и общества носят вероятностный характер, что реальных явлений и процессов можно хорошо описать вероятностными моделями;• убедить, что теория вероятностей имеет важное значение для математического образования.• познакомить учащихся с различными видами тестов, которые являются важными составляющими успешной сдачи ЕГЭ.Список использованной литературыАндронов, А.М. Теория вероятностей и математическая статистика [текст]: Учебник для вузов /А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. - СПб.: Питер, 2004. -461 с.Афанасьев, В.В. Случайные события [текст]: Учебное пособие. / - Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1999. - 48с.Афанасьев, В.В. Теория вероятностей [текст]: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «математика» / В.В. Афанасьев. - М.: Владос, 2007. - 350 с.Афанасьев, В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах [текст]: Учебное пособие / В.В. Афанасьев. - Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004. - 250 с.Афанасьев, В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах [текст]: Учебное пособие. / В.В. Афанасьев. - Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004.- 250 с.Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов [текст]: учебное пособие. / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. — Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с.Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. - 2004. - №31.Бродский, И.Л. Вероятность и статистика 7-9 классы [текст]: Решение задач из учебников под ред. Г.В.Дорофеева. - М.: АРКТИ, 2006Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе. – 2002. - №3.Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 159 с.Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования». / Математика в школе.- 2003.- №3Бунимович, Е. А. О теории вероятностей и статистике в школьном курсе [текст] /Е.А. Бунимович // Математика в школе. - №7, 2009.Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика 5-9 кл. [текст]: пособие для общеобразоват. учреждений. / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2009. - 159 с.Бунимович, Е.А. Основы статистики и вероятность [текст]: 5-11 кл.: учебное пособие - М.: Дрофа, 2008.Бычкова, Л.О. Об изучении вероятности и статистики в школе [текст]: / Л.О. Бычкова, В.Д. Сенютин // Математика в школе. - 1991. - № 6.Виленкин Н.Я. Комбинаторика//– М.: Наука, 1969. – 328 с.: ил.Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика//– М.: Наука, 1975. – 209 с.Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса [текст]: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. / Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1996. - 288 с.Виленкин, Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. - М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2015. - 50 c.Власов, Д. А. Формулы числа сочетаний. Бином НьютонаВысшаяматематика.Режимдоступа Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, доп. – М.: Высш. шк., 2008. – 405 с.Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [текст]: Учеб. пособие для студентов вузов. / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., Изд. 6-е, доп., 2008. - 405 с.Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей [электронный ресурс].-Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах [текст]: Книга для учителя / В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь. Под ред. С.И. Шварцбурда. - М.: Просвещение, 1984.Дорофеев, Г.В. Математика 5-9 [текст]: учебное пособие / Е.А.Бунимович, В.А.Булычев. Просвещение. - 2009.Ерош И.Л. Дискретная математика. Комбинаторика//– СПбГУАП.СПб.,2001. – 31с.Зверев И. Д. Проблематика исследований в области факультативных занятий [Текст] / И. Д. Зверев// Факультативные занятия в средней школе [сб. статей под ред. М. П. Кашина, Д. А. Эпштейна]. – М. : Педагогика, 1973. – 240 с. – С. 18–24. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика [текст]: Учебники для 56классов общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2002-2009.Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.Ивашев-Мусатов, О.С. Теория вероятностей и математическая статистика [текст]: учебное пособие. / О.С. Ивашев-Мусатов. - М.: Наука, 1979.Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей [текст]/ Булычев В.А., Бунимович Е.А.// Математика в школе. – 2003.-№4.Калмыков Р.К., Камалетдинова Э.В. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ // Международный студенческий научный вестник. – 2014. – № 4.;URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=11943 (дата обращения: 06.01.2020).Калмыков, Р.К. Комбинаторные задачи в школьном курсе математики [текст]: // Международный студенческий научный вестник. - 2014. - № 4.Каменкова, Н.Г. Элементы теории вероятностей [текст]: Учебное пособие / Н.Г. Каменкова. - СПб, 1993.Кондаков М. И. Задачи и содержание факультативных занятий в школе [Текст] / М. И. Кондаков // Факультативные занятия в средней школе [сб. статей под ред. М. П. Кашина, Д. А. Эпштейна]. – М. : Педагогика, 1973. – 240 с. – С. 9–18. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [текст]: Учебник для вузов. / Н.Ш. Кремер. - 2-е изд., - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.Крутихина Марина Викторовна, Сопот Альбина Олеговна Изучение элементов комбинаторики в 5-ом классе гуманитарной направленности // Концепт. 2013. №11 (27). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/izuchenie-elementov-kombinatoriki-v-5-om-klasse-gumanitarnoy-napravlennosti (дата обращения: 06.01.2020).курсе алгебры 5-9 классов [Электронный ресурс] // Открытый урок. Первое сентября.-2013.;Режимдоступа:Майстров, Л. Е. Развитие понятия вероятности [текст]: учебное пособие / Л.Е. Майстров - М.: Наука, 1980.Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Под ред. С.А.Теляковского – М.: Просвещение. – 2003. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. – 2004. – №5.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы комбинаторики. // Математика в школе. – 2004. – №6.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. – 2004. – №5.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. – 2004. – №7.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы комбинаторики. // Математика в школе. – 2004. – №6.Макарычев, Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей [текст]: учеб. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк; под ред. С.А.Теляковского. - 3е изд. - М.: Просвещение, 2005.Мальцева, И. В. Логика для дошкольников. Комбинаторика. Изучаем закономерности / И.В. Мальцева. - М.: Клевер-Медиа-Групп, 2015. - 16 c.Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Дрофа, 2013.Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Дрофа, 1997.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 1999.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 2013.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 2000.Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 1997.Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Просвещение, 2000.Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Просвещение, 2000. Матылыцкий М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2002. – 248 с.Матылыцкий, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах [текст]: Учеб. пособие. / М.А. Матылыцкий. - Гродно: ГрГУ, 2002. - 248 с.Мелехина, М. И. Мониторинг стохастической линии в школьномМонахов В. М. Актуальные проблемы дальнейшего совер$ шенствования факультативных занятий в школе [Текст] / В. М. Мо$ нахов // Факультативные занятия в средней школе. Проблема подготовки учителей : [сб. науч. трудов ; редкол.: Д. А. Эпштейн (отв. ред.) и др.]. – М. : Изд. АПН СССР, 1984. – 114 с.Мордкович А.Г, Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных [текст]: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2004. - 112 с.Мордкович, А.Г. События. Вероятность. Статистика [текст]: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 кл. - М.: Мнемозина, 2002-2009.О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В.А.Болотов // Математика в школе – 2003. - №9.Об одном способе изложения теории вероятностей в школе [текст] / А.В. Юркевич, А.И. Шербаф, В.В. Жовнерко // Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 1995.Панюкова, Т. А. Комбинаторика и теория графов / Т.А. Панюкова. - Москва: Гостехиздат, 2014. - 216 c.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике [текст]: учебное пособие. / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с.Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N03-93ин/13-03 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы».Полякова, Т.А. Элементы теории вероятности и математической статистики в цикле естественнонаучных дисциплин школьного курса [текст]: Учебное пособие. / Т.А. Полякова // Образовательные технологии. Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского. Омский научный вестник. - 2007. - № 2 (57), 3 (61).Райгородский, А. М. Вероятность и алгебра в комбинаторике / А.М. Райгородский. - М.: МЦНМО, 2008. - 48 c.Режим доступаhttp://www.booksshare.net/books/physics/gnedenko-Селютин, В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике [текст] // - Математика в школе, №4, 2003Селютин, В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений [текст] // - Математика в школе, №3, 2003.Степанов, В. Элементы комбинаторики [Электронный ресурс] //Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №7Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №6.Ткачева М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других. // Математика в школе. – 2003. - №5Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова. – М.: Просвещение, 2004.Ткачева М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе. – 2003. - №9.Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы.[текст] // Математика в школе. - 2003.-№3Ткачева, М.В. Элементы статистики и вероятность [текст]: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. / М.В. Ткачева - М.: Просвещение, 2005. - 112 с.Тюрин Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [текст] / Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко – М.:МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.Факультативные занятия в средней школе. Проблема подготовки учителей : сборник научных трудов [Текст] ; [редкол.: Д. А. Эпштейн (отв. ред.) и др. – М. : Изд. АПН СССР, 1984. – 114 с.Хинчин А.Я., Гнеденко Б.В. Педагогические статьи/ Хинчин А.Я., - М.: Акад. Пед. Наук РСФСР. 1963. 204с.Шахмейстер, А. Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность / А.Х. Шахмейстер. - М.: Петроглиф, Виктория плюс, МЦНМО, 2015. - 296 c.Яковлев, И. В. Комбинаторика для олимпиадников / И.В. Яковлев. - М.: МЦНМО, 2016. - 80 c.