Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Из второго уравнения системы (2.11) имеемТогда, из первого уравнения получим:Получили однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решим его по методу Эйлера.Характеристическое уравнениеОбщее решение этого уравненияТогдаТаким образом, общее решение однородной системы (2.11) естьРешение неоднородной системы (2.10) ищем в следующем виде, считая постоянные интегрирования и функциями от :Подставим(2.12) в (2.10) и преобразуем:После приведения подобных членов, получимРешая полученную алгебраическую систему относительно и , получим:Интегрируяпочастям, найдем произвольные постоянные.Подставим последние два уравнения в (2.12), получим общее решение данной системы (2.10).2.3 Метод неопределенных коэффициентов (метод подбора)Этот метод применяется для решения неоднородной системы линейных уравнений тогда, когда функции, стоящие в правой части системы, имеют специальный вид: многочлены показательные функции, синусы и косинусы и произведения этих функций. В зависимости от вида функции ход решения разное. Приведем пример решения системы, содержащей функцию .Задача 6Решить системуРешение Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравненияОбщее решение однородной системы, соответствующей данной системе (2.13):Частное решение неоднородной системы уравнений (2.13) ищем в видеПодставим (2.14) в (2.13) и сократим на :Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :Итак, Окончательно, общее Решение исходной системы:2.4 Построение интегрируемых комбинаций (метод Даламбера)Этот метод служит для построения интегрируемых комбинаций при решении систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Покажем его применение для решения систем двух уравнений:Умножим второе уравнение на некоторое число и сложим почленно с первым уравнением:Перепишем последнее уравнение в видеВыберем число так, чтобыТогда приводится к уравнению, линейному относительноИнтегрируя, получим:ЗАКЛЮЧЕНИЕРезюмируя и обобщая тему курсовой работы, в заключении можно добавить следующее.Еще у истоков возникновения теории дифференциальных уравнений 18-ом веке великий математик Леонард Эйлер в своих трудах создал удивительно стройную и изящную теорию линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами, тем самым дал огромный толчок развитию этой теории. Ему принадлежит честь создания не только теории решения однородных уравнений с постоянными коэффициентами, но и неоднородных уравнений, а также являющейся темой данной работы, теорию систем линейных однородных и неоднородных уравнений. Его перу принадлежит также изучение целого класса линейных уравнений с переменными степенными коэффициентами вида , названных в его честь уравнениями Эйлера. Эти уравнения с помощью соответствующих постановок приводятся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это далеко не полный список заслуг Эйлера только в одной узкой области теории дифференциальных уравнений. А в других областях математической науки?... На каждом шагу в разных отраслях математики то и дело встречаются теорема Эйлера и задача Эйлера, формулы Эйлера и преобразования Эйлера, окружность Эйлера, прямая Эйлера и т.д., и т.п. А в физике?! Механике? А в астрономии?!... Во истину, гений есть гений во всем...Цель работы – образовательная, - повторение, упорядочение и закрепление знаний о системах линейных дифференциальных уравнений. В этом отношении цель достигнута.Ограниченный объем работы не позволило бы в полной мере обхватить все вопросы темы, многие методы решения систем рассмотрены лишь касательно, а некоторые вопросы (например, решение систем однородных и неоднородных линейных уравнений операционным методом, вопросы о применении таких систем в технике, например, исследовании электрических цепей и д.т.) вообще не были рассмотрены. Остается надеяться, что эти и другие вопросы, связанные с темой работы, станут темой творческих работ в будущем.ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ1. Акад. А. Н. Крылов, Леонард ЭЙЛЕР, Изд-во Академии Наук СССР доклад академика А. Н. Крылова, прочитанный на торжественном заседании академии наук СССР 5 октября 1933 г. Ленинград, 1933, издательство Академии наук.2. Глейзер Г.И. История математики в школе, изд. «Просвещение», М. 1964.3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Издание четвертое. Изд-во «Наука» . – М.: 1974. 4. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, М., 1964.5. Краснов М. Л. И др., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд. 4-е., испр. — М., изд. Едиториал УРСС, 2002. 6. Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 1998.7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_дифференциальное_уравнение_с_постоянными_коэффициентами8. https://math.semestr.ru/math/diffur_x.php#:~:text=Линейное%20дифференциальное%20уравнение%20с%20постоянными,однородного%20уравнения%2C%20R(x)%2C%20S(x)%20