Дисциплина "Элементы математической логики" Лекционные, практические и контрольные материалы

Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".10. 1) Значение высказывания в первых скобках равно "ложь", значение выражения во вторых скобках - "истина". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".2) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Высказывания соединены логической операцией "И", поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".3) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Высказывания соединены логической операцией "И". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".4) Значение высказывания в скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Оба высказывания соединены операцией "ИЛИ", поэтому значение высказывания в обобщающих скобках - "истина". Перед обобщающими скобками стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".5) Значение высказывания в скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Высказывания соединены знаком следования, то есть из "истины" следует "истина". Поэтому логическое значение всего высказывания - "истина".Тема 5 «Простые и сложные высказывания»1. Даны два высказывания А =  “Принтер используется для набора информации» и В = «Принтер используется для печати информации». Составьте следующие сложные высказывания.а) не Аб) не B2. Даны два высказывания А =  "Студент Иванов учится на отлично» и В = «Студент Петров учится плохо». Составьте следующие сложные высказывания.а) А и Вб) А или В3. Даны два высказывания А =  "Студент Иванов учится на отлично» и В = «Студент Петров учится плохо». Составьте следующие сложные высказывания.а) или (не В)б) не А или В4. Даны два высказывания А =  “Принтер используется для набора информации» и В = «Принтер используется для печати информации». Составьте следующие сложные высказывания.а) не А и (не В)б) не (А и В)5. Запишите пять мужских и пять женских имен, для которых истинно высказывание: «Третья буква имени согласная, и неверно, что первая буква имени гласная».6. Среди следующих высказываний указать элементарные и составные, в составных высказываниях выделить грамматические связки: 1) число 9 не делится на 3; 2) число 21 делится на 3 и на 7. 7. Среди следующих высказываний указать элементарные и составные, в составных высказываниях выделить грамматические связки: 1) число 3 является делителем числа 27; 2) если число 15 делится на 5, то оно делится на 3; 3) число 18 делится на 9 тогда и только тогда, когда 9 делится на 3. 8. Запишите с помощью логических операций сложное высказывание "Пользователь не зарегистрирован"9. Определите логическое значение выражения(p → q) ↔ (r → s),еслиp = "278 > 5",q = "Яблоко = Апельсин",p = "0 = 9",s = "Шапка покрывает голову".10.Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";3) Не "дуб - дерево".РЕШЕНИЯ:1. а) Неверно, что принтер используется для набора информацииб) Неверно, что принтер используется для печати информации2. а) Студент Иванов учится на отлично и студент Петров учится плохоб) Студент Иванов учится на отлично или студент Петров учится плохо3. а) Или студент Петров не учится плохоб) Студент Иванов не учится на отлично или студент Петров учится плохо4. а) Принтер не используется для набора информации и принтер не используется для печати информацииб) Неверно, что принтер используется для набора информации и принтер используется для печати информации5. Валентин, Валерий, Василий, Виталий, Максим. Мария, Магдалина, Милана, Марина, Марта.6.1) Элементарное высказывание – «число 9 делится на 3», составное – «число 9 не делится на 3», грамматическая связка – «не». 5 2) Элементарные высказывания – «число 21 делится на 3» и «число 21 делится на 7», составное – «число 21 делится на 3 и на 7», грамматическая связка – «и»7. 3) Элементарное высказывание. 4) Элементарные высказывания – «число 15 делится на 5» и «число 15 делится на 3», составное – «если число 15 делится на 5, то оно делится на 3», грамматическая связка – «если ..., то ...» 5) Элементарные высказывания – «число 18 делится на 9» и «число 9 делится на 3», составное – «число 18 делится на 9 тогда и только тогда, когда 9 делится на 3», грамматическая связка – «тогда и только тогда».8.p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;9. Значение высказывания - "истина". Высказывание p имеет значение "истина", высказывание q - "ложь". Если из "истины" следует "ложь", то сложное высказывание имеет значение "ложь". Высказывание r имеет значение "ложь", высказывание s - "истина". Если из "лжи" следует "истина", то сложное высказывание имеет значение "ложь". Таким образом, знаком ↔ (эквивалнтность, "тогда и только тогда") соединены два высказывания, имеющих значение "ложь". Поэтому всё высказывание имеет значение "истина". Всё верно, "ложь" эквивалентна "лжи".10.1) p - одиночное высказывание "Часы неправильное показывают время", q - одиночное высказывание "Можно невовремя прийти на заняти", логическая операция: p → q. Значение сложного высказывания - "истина";2) p - одиночное высказывание "В зеркале можно увидеть своё отражение", q - "Париж - столица США", логическая операция: p ∧ q. Логическое значение сложного высказывания - "ложь";3) p - одиночное высказывание "Дуб - дерево", логическая операция: ∼p. Логическое значение сложного высказывания - "ложь".Тема 6 «Отрицание»1. Постройте отрицание для следующих высказываний:Маша варит супМосква-столица России 2. Приведите пример высказывания и постройте его отрицание.3.Постройте отрицание для высказывания: "У Алены в кармане больше 4 рублей"4. Постройте отрицание: Некоторые школьники забыли дома голову.5. Постройте отрицание: Шура любит кошек и хурму.6. Постройте отрицание: Во всех месяцах года количество дней больше 297. Учительница сказала: "Каждую задачу решил хотя бы один ученик". Света сказала дома: "Каждый ученик решил хотя бы одну задачу". Правильно ли она поняла слова учительницы?8. Три путешественника увидели вдали зеленый остров. - На этом острове больше 1000 пальм! - воскликнул первый. - Нет, пальм на острове меньше 1000, - возразил второй. - Ну одна-то пальма точно есть, - сказал третий. Когда они высадились на берег, оказалось, что только одно из этих утверждений верно. Сколько пальм могло быть на острове?9. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что»: 1) Я встретил Вас. 2) Трудно быть богом10.Являются ли противоположными высказывания: 1) «Вчера светило солнце» и «Вчера шел дождь»; 2) «Я умею прыгать через лужи» и «Я не умею прыгать через лужи»?РЕШЕНИЯ:1. Неверно, что Маша варит суп. Неверно, что Москва – столица России.2. Иванов получил сегодня 5 по математике. Отрицание: Неверно, что Иванов получил сегодня 5 по математике3. У Алены в кармане меньше либо равно 4 рублей.4. Хотя бы один школьник не забыл дома головуЕсли утверждение содержит выражение «хотя бы один», то для построения отрицания, надо заменить это выражение на слово «каждый» и к остальной части построить отрицание.5. Шура не любит кошек или хурмуЕсли утверждение состоит из нескольких частей, соединенных союзом «или», то для построения отрицания, надо построить отрицание каждой части утверждения, а между частями поставить союз «и».6. Есть хотя бы один месяц, в котором количество дней меньше или равно 29.7. Покажем, что при выполнении условия «Каждую задачу решил хотя бы один ученик», утверждение «Каждый ученик решил хотя бы одну задач» может быть ложным. Отрицание ко второму утверждению: «Найдется ученик, который не решил ни одной задачи». Пусть задач было 3. А учеников в классе 4: Алла, Берта, Варя, ГошаЗадача 1Задача 2 Задача 2Алла+--Берта-+-Варя--+Гоша---Здесь первое утверждение выполнено, но есть Гоша, который не решил ни одной задачи. Ответ: неправильно, приведен контрпример.7. Надо рассмотреть 3 случая.Случай 1. Первый сказал правду, второй и третий солгали.Случай 2. Второй сказал правду, первый и третий солгали. Случай 3. Третий сказал правду, первый и второй солгали. Сначала построим отрицания. Отрицание к первому: «На острове меньше или ровно 1000 пальм». Отрицание ко второму: «Пальм на острове больше или ровно 1000». Отрицание к третьему: «Нет ни одной пальмы». Случай 1. Одновременно верно, что на острове больше 1000 пальм и нет пальм. Противоречие. Случай 2. На острове 0 пальм. Случай 3. Одновременно верно, что на острове меньше или ровно 1000 пальм и больше или ровно 1000 пальм. Значит, на острове 1000 пальм. Ответ: 0 или 1000 пальм.9.1) Построить отрицание помогает частица «не». Получается высказывание «Я не встретил Вас», противоположное исходному. Подумайте, почему высказывания «Не я встретил Вас» и «Я встретил не Вас» отрицаниями не являются. 2) Во втором лучше слово «трудно» заменить антонимом, получится, что «Богом быть легко»10. 1) Нет. Возможно, вчера было пасмурно, но без осадков (или шел снег). С другой стороны, в один и тот же день вполне мог идти дождь и светить солнце. 2) Да. Можно либо уметь что-либо делать, либо не уметь.ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬТема 1 «Введение»Раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.теория графовтеория множествдискретная математикаматематическая логикаМатематическая логика – ветвьдискретной математикиформальной логикитеории множествграфической логикиЛогика изучает один аспект познавательного мышления:законы и принципы, ведущие к построению непротиворечивых умозаключенийзаконы и принципы устройства математикизаконы и принципы логического обоснования наукТребования логикинуждаются в уточнениипросты, четки, однозначны, нормативныСовременная математическая логика раздел математики, занимающийся изучением математических доказательств и вопросов основания математикираздел теории графов, занимающийся изучением графических представлений множествВ древности вопросами математической логики занималисьПифагор, Платон, ГиппократАристотель, Евклид, АрхимедСократ, ГиппократИдея построения логики на математической основе принадлежит:Леонарду ЭйлеруГотфриду ЛейбницуИсааку НьютонуСвою алгебру логики создал Готфрид ЛейбницИсаак НьютонЛеонард ЭйлерДжордж БульАвтор пособия "Математический анализ логики, или опыт исчисления дедуктивных умозаключений "Готфрид ЛейбницИсаак НьютонДжордж БульЛеонард ЭйлерВыяснение условий истинности знания и выработка эффективных познавательных процедурзадача логического образованияцель логикиКлюч к тесту1d2b3a4b5a6b7b8d9с10bТема 2 «Классическая логика»Диаграммы Эйлера-Венна часто используют при работе смножествамиподмножествамиуравненияминеравенствамиНаука, которая показывает, как должно совершаться мышление, чтобы была достигнута истина; каким правилам мышление должно подчиняться для того, чтобы была достигнута истина:логикаарифметикавсе математические дисциплиныТермин "логика" имеет происхождение:древнеегипетское наукой не установленодревнегреческое древнеримскоеВыведение следствия, заключения из определенных посылок – этопроллогизмаллогизмсиллогизмВерно ли утверждение: "Силлогизм бывает простым, сложным, сокращенным и сложносокращенным".данетУтверждение: "Существует еще одно правило, которое говорит о том, что, если только одна из посылок силлогизма является отрицательной, вывод возможен, однако также будет отрицательным" является:правилом определения множествправилом посылок силлогизмаПравилом посылки силлогизма является правило:Посылки силлогизма можно определять по своему желаниюЕсли одна из посылок силлогизма частная, то и его следствие тоже будет частнымДиаграммы Эйлера-Венна были придуманы:Джоном Эйлером-ВенномДвумя учеными Эйлером и ВенномАлександром ЭйлеромНа кругах Эйлера-Венна изображено:объединение дополнениепересечениеНа кругах Эйлера-Венна изображено:объединение дополнениепересечениеКлюч к тесту1a2a3с4с5a6b7b8b9с10aТема 3 «Понятие теории множеств»Множество, не содержащее ни одного элемента, называется:нулевым;пустым; бесконечным;безэлементным.Какой операции над множествами соответствует выражение? “Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В”.Пересечение множествПеречисление множествДополнение множестваМножества обозначаются ...большими латинскими буквамималыми латинского буквамиПустое множество содержитодин элементни одного элементабесконечное множество элементовПересечением множеств А={1,2,3,8,9 } и B={8,9,10,11,12} будет множество С, состоящее из элементов:1,2,3,8,91,2,3,8,9,10,11,128,98,9,10,11,12Математический символ Ø обозначает^пустое множествобесконечное множествомножество простых чиселмножество натуральных чиселВыберите неправильное определение понятия "Множество".Множество – это основное неопределяемое понятие в математике и поэтому не определяется через другиеМножество – это совокупность предметов, рассматриваемая как один предметПод множеством понимают объединения в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мысльюВсе ответы правильныеЕсли все элементы множества А входят в множество В, то можно сказать, что:А – образ множества ВВ – прообраз множестваА – подмножество ВЕсли элемент x принадлежит множеству X, то записывают:x ∈ Хx | Xx ⊂ XСогласны ли Вы со следующим утверждением: "Студенты одной группы - это множество, элементы которого - это студенты, общее свойство - обучение по одному профилю"?данетКлюч к тесту1b2a3a4b5c6a7d8c9a10aТема 4 «Высказывания»Высказывание – этолюбое предложениеутверждение, истинность или ложность которого нельзя установить в любой момент времениутверждение, истинность или ложность которого можно установить в любой момент времениВысказывания в алгебре логики обозначаютсялатинскими заглавными буквамицифрамилатинскими строчными буквамиВысказывания это:вопросительные предложенияповествовательное предложение, смысл которого можно однозначно определить как истину или ложьпредложения, содержащие союзыИ, ИЛИ, НЕКакие значения принимают логические переменные:да и нетплюс и минусимпульс и нет импульсаистина и ложьВысказывание считается истиннымесли даваемое им описание соответствует реальной ситуацииесли даваемое им описание не соответствует реальной ситуацииВысказывание считается истинным:если даваемое им описание соответствует реальной ситуацииесли даваемое им описание не соответствует реальной ситуацииЛогическими связками не являются слова:если…, томожет бытьи, илиУдовлетворяет условию слово: "Верно, что первая бука согласная и неверно, что третья буква гласная"пароходаэробусаэропортИстинность высказывания можно обозначить:буквой Ибуквой ЛЛожность высказывания можно обозначать:буквой Ибуквой ЛКлюч к тесту1с2a3b4d5a6b7b8a9a10bТема 5 «Простые и сложные высказывания»Высказывание "Все растения съедобны":Простое и истинноеСложное и истинноеПростое и ложноеВыбрать пример, не являющийся высказыванием:Никакая причина не извиняет невежливостьСпортом заниматься полезноВсе птицы зимой улетают на югКак твоя фамилия?Высказывание «Прозвенел звонок и закончился урок»:Простое и истинноеСложное и истинноеПростое и ложноеСложное и ложноеА - высказывание. В - высказывание. Тогда "А и В" -..конъюнкция этих высказыванийдизъюнкция этих высказыванийА - высказывание. В - высказывание. Тогда "А или В" -..конъюнкция этих высказыванийдизъюнкция этих высказыванийНайди и отметь сложное высказывание.Москва – столица России.Москва – столица России и в Москве есть Кремль.В Москве есть Кремль.Союз ИЛИ обозначает логическоесложениевычитаниеумножениеТаблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументовтаблица истинноститаблица значенийлогическая таблицаВ таблицах истинности переменные могут принимать значения:латинских буквложь и истинапроизвольные значениятолько натуральных чисел"Изучение логики не трудно и не бесполезно". Данное высказывание является:сложнымпростымне является высказываниемКлюч к тесту1c2d3d4a5b6b7a8a9b10aТема 6 «Отрицание»Отрицание высказывания A на письме обозначают:A^A*AЕсли высказывание A истинно, то его отрицание:истинноложноневозможно определитьЕсли высказывание A ложно, то его отрицание:истинноложноневозможно определитьЛюбое высказывание A равносильно высказыванию:AДля утверждения «Сегодня Петя ходил в школу» отрицание будет являться высказывание:Сегодня Петя ходил не в школуСегодня Петя не ходил в школуВерно ли правило: "Если утверждение содержит слово «меньше», то для построения отрицания, надо заменить его на «больше или равно» и наоборот"?данетЯвляется ли верным правило: "Если утверждение содержит слово «больше», то для построения отрицания, надо заменить его на «меньше или равно» и наоборот".данетОтрицанием для высказывания "Петя или Яша купили нам печенье" будет являться:Петя не купил печенье или Яша не купил печеньеПетя и Яша не купили нам печеньеПетя не купил печенье Яша не купил печеньеКакое из высказываний является отрицанием высказывания "Никто из третьеклассников не читал ни Диккенса, ни Дюма".Все третьеклассники прочли Диккенса и ДюмаЕсть третьеклассник, который прочитал Диккенса или Дюма.Дано отрицание высказывания "Есть школьник, который не любит шоколад и чипсы". Какое из высказываний будет являться изначальным?Каждый школьник любит шоколад или чипсыКаждый школьник любит шоколад и чипсыНикакой из школьников не любит шоколад и чипсыКлюч к тесту1a2b3a4c5b6a7a8b9b10aСписок литературы1. Основы математической логики [Электронный ресурс] URL: http://www.mathprofi.ru/osnovy_matematicheskoj_logiki.html(дата обращения 27.01.22 г.)2. Лекции по математической логике [Электронный ресурс] URL: https://rustem-af.ru/assets/res/files/160/matematicheskaya-logika-vse-lekcii.pdf (дата обращения 27.01.22 г.)3. В. И. Игошин "Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов" [Электронный ресурс] URL:http://kfilial.mggeu.ru/wp-content/uploads/2021/02/Igoshin-V.I.-Zadachi-i-uprazhneniyapo-mat-log.pdf (дата обращения 27.01.22 г.)4. Элементы теории множеств. Сборник задач [Электронный ресурс] https://phvcollege.ru/sites/default/files/Documents/UMK/Сборник%20Дискрет% 20матем%20Москаленко.pdf (дата обращения 27.01.22 г.)5. Примеры решения задач на множества Электронный ресурс] https://studopedia.ru/6_120851_primeri-resheniya-zadach-na-mnozhestva.html (дата обращения 27.01.22 г.)