Уравнения Клеро и Даламбера. Преобразование Лежандра

Следовательно мы получили общее решение:особое решение или частное решение данного уравнения:Заметим, что если в общем решении мы исключим параметр p, то общее решение примет вид: 2. Решить уравнение.Решение.Преобразуем данное уравнение, разделив обе части на , при условии, что Получим: -уравнение ЛагранжаПоложим, что функции x, y, и , это есть функции, зависящие от параметра t Пусть , следовательно , (**)упростим данное уравнение, умножив обе части наПродифференцируем обе части уравнения по переменной t:Соответственно .(***)В уравнение Подставим равенства (**) и (***)Обе части уравнения умножим на и разделим наx, где x≠0, тогда получим:Разделим обе части на :Проинтегрируем обе части уравнения:Вычислим этот интеграл.Приравняем числители первой и послей дробей:Составим систему двух уравнений и решим ее:Тогда получимВычислим интеграл:Тогда вернемся к нашему уравнению и подставим:Подставим вместо х в исходное уравнение:Это общее решение.Найдем частное решение, при t=0, t=-3, t=-4,5Вместо t=0Приt=-3 уравнение не имеет решенияПри t=-4,5y=СледовательноЧастное решение y=0К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет видилиЛюбое свойство касательной выражается соотношением между и :Решая его относительно , придём к уравнению вида, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.Заключение.Дифференциальные уравнения широко используются на практике при решении многих задач, когда нужно установить зависимость функции y от переменной x.В данной работе было достигнута цель исследования и решены следующие задачи:1.Рассмотрено понятие дифференциального уравнения Лагранжа2.Рассмотрено понятие дифференциального уравнения Клеро.3.Рассмотрено преобразование Лежандра для решения дифференциальных уравнений Клеро и ЛагранжаВ процессе исследования было установлено, что преобразование Лежандра используется для решения уравнений Клеро и Лагранжа, и при этом оно упрощает его. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.Преобразование Лежандра является наиболее выраженным примером из всех преобразований дифференциальных уравнений, когда при преобразовании задействуются зависимые и независимые переменные, а также привлекаются и первые производные.Во второй части было рассмотрено решение дифференциальных уравнений Клеро и Лагранжа.Список использованной литературыВ.И. Смирнов "Курс высшей математики", том второй, издательство "Наука", Москва 1974.Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление", том второй, издательство "Наука", Москва 1985К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. "Сборник задач по высшей математике", второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007