Основные виды абстракции в математике

[1, с.128-129] Процесс деления анализируется здесь в абстрактной форме, поскольку он, во-первых, отвлекается от качественных характеристик процесса, когда происходит чисто количественное сокращение тела до новых качественных элементов (Молекула, атом, «элементарная» частица) ведет; во-вторых, это зависит от практических возможностей процесса, то есть бесконечная делимость рассматривается как потенциально осуществимый процесс. Такой абстрактный подход к вопросу о делимости материи натолкнулся на серьезные возражения со стороны древнегреческих атомистов. Предполагая неограниченную делимость тел, как указывали атомисты, исследователь тем самым предлагает возможность достижения точек в этом процессе, поскольку «в малом нет самого малого». Таким образом, каждая часть тела может быть разделена дальше и в конечном итоге достигнет точек. Но тогда тело остается, однако: оно должно состоять из точек, что, очевидно, абсурдно.Гильберт справедливо критиковал ошибочную идею неограниченной делимости органов, в которой каждая их малая часть обладает характеристиками оригинальной части. В своей известной статье о бесконечности он приходит к теории атомной структуры материи и открытию границ энергии, основанной на выводе о том, что "однородный континуум, который должен обеспечивать безграничное распределение и, таким образом, реализовывать Бесконечность в малом, на самом деле нигде не найден".Бесконечное простое континуума - это операция, которая существует только в мыслях. Поэтому естественно, что концепция потенциальной бесконечности, которая делает возможной такую возможность, не может претендовать на то, чтобы быть достаточным описанием физического процесса распределения материи. В этом процессе объект не только уменьшается количественно, но и изменяется качественно. В современной науке молекула считается мельчайшей частицей материи. Разделение молекул приводит к возникновению новых качественных образований - атомов, которые существенно отличаются от молекул. Распад атома приводит к появлению различных элементарных частиц, которые также качественно отличаются от атомов. Все это показывает, что процесс распределения вещества всегда связан с его качественными изменениями. Понятие потенциальной бесконечности, как и любое другое математическое понятие, абстрагировано, абстрагировано от качественных свойств явлений и процессов и рассматривается в "чистом", идеализированном виде. Тогда ясно, что такая Бесконечность не может существовать в природе.Однако, отрицая объективную природу математической бесконечности и приписывая ей роль априорной идеи в духе Канта, он идет на уступку идеализму. Однако более точный анализ показывает, что для Гильберта бесконечность, как и любое другое идеальное утверждение математической теории, является в первую очередь формой универсальности. Одна из плодотворных идей его теории доказательств состоит в том, чтобы свести математику «к ряду формул, во-первых, тех, которые соответствуют значимым сообщениям конечных утверждений, то есть, по сути, являются числовыми равенствами и неравенствами, а во-вторых, другие формулы, которые сами по себе не имеют смысла и являются идеальными образами нашей теории.Эти идеальные образы являются обобщениями конечных, конкретных утверждений. Точно так же, как обработка формулы становится возможной с помощью частичных предложений, "работа с Бесконечным может стать надежной только с конечным". Согласно конечному подходу Гильберта, аргументы в теории доказательств или метатеории, предметом которых являются формальные системы, должны быть интуитивными, а выводы убедительными. Поскольку истинная Бесконечность не отвечает этим требованиям, она не используется в метатеории.Идея бесконечности приемлема как основа рационального мышления, если не забывать о ее отношении к конечным процессам и объектам.Конструктивное направление в математике также не позволяет абстрагироваться от актуальной бесконечности, но в отличие от интуиционизма (Л. Брауэр, Г. Вейль) представители этого направления (А. А. Марков, Н.Л. Шанин и др.) опираются на строгую математическую концепцию — понятие алгоритма. Математический объект распознается ими только в той степени, в которой он может быть построен в рамках абстракции потенциальной осуществимости, то есть когда конструкция объекта практична или потенциально выполнима.Заключение.История развития науки показывает, что теоретическое познание начинается с создания отдельных абстракций, затем происходит их объединение или синтез в рамках научных систем и теорий.По мере углубления знаний о количественных соотношениях и пространственных формах реального мира растет абстракция самой математики и, соответственно, связь ее отдельных понятий с реальностью становится более отдаленной и косвенной.Математика, как и любая другая наука, представляет собой не конгломерат различных понятий, суждений и законов, а единую систему научных знаний, в которой одни понятия и суждения зависят от других. Возможно, ни в одной другой науке эти связи и отношения между понятиями, суждениями и даже отдельными теориями не могут быть определены так четко и определенно, как в математике.Точно так же, как вопрос об отношении мышления к бытию является наиболее важным вопросом для философии, вопрос об отношении математического знания к реальности является наиболее важным философским вопросом в математике. И одним из самых важных мест для понимания взаимосвязи между математическими теориями и реальностью является использование концепции абстракции. В определенном смысле все математические теории и выводы основаны на нем.И точно так же, как разрешение вопроса об отношении математического знания к реальности определяет два направления в философии: материализм, который рассматривает понятия математики как отражение определенных характеристик и отношений внешнего мира, и идеализм, который рассматривает эти понятия либо как творения чистой мысли, либо как условные соглашения, либо как экспериментальные, априорные идеи, одним словом для идеалистов, математические понятия – нечто первичное, а материальный мир вторичен. Так же разные взгляды на абстракции разных идей, например, Бесконечности, осуществимости и т. д., порождают разные философские школы.Список литературы.Рыбников К. А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1974. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия [под ред. А. П. Юшкевича]. – Т. 1–3. – М.: Наука. – а) Т. 1, 1970; б) Т. 2, 1971; в) Т. 3, 1972 Юшкевич А. П. История математики в России до 1917г. – М.: Наука, 1968. Рыбников К. А. Введение в методологию математики. – М.: Изд-во МГУ, 1978. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение. – а) 4–6 кл., 1981; б) 7–8 кл., 1982; в) 9–10 кл., 1983. Евклид. Начала [перевод Д. Д. Мордухай-Болтовского.]. – а) кн. I–VI; М.-Л., 1948; б) кн. VII–X; М., 1949. Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. – Харьков: Харьковский госуд. Университет, 1952. Акопов, А. С. Имитационное моделирование. Учебник и практикум / А.С. Акопов. – М.: Юрайт, 2015. – 390 c.