Исследование задачи стабилизации опрокинутого положения равновесия Маятника Фуруты

Следует отметить, что через 6 секунд все положения достигают согласованности, соответствующей среднему значению начальных условий.Рисунок3.5–Неполноприводныекоординатыqi1десятироботовбеззапаздывания.Согласно теории, эта консистенция поддерживается среди агентов в присутствии задержек, как показано на рис.3.6. Показаны три различных значения задержки (равные всем кольцам): Tir 0,01c, 0,5c, 1,5c, иллюстрируют, как время, необходимое для достижения контрольной цели, увеличивается с увеличением времени задержки. В этих условиях значение непротиворечивости больше не соответствует среднему уровню начальных условий.Рисунок 3.6 – Неполноприводные координаты qi1десяти роботов для трех значенийзапаздыванияОкончательное моделирование было выполнено для иллюстрации надежности свойств схемы управления. Это соответствует внешнему моменту возмущения, действующему на десятого робота, имитирующего 2-секундную задержку движения. Реакция системы показана на рисунке 3.7.Рисунок3.7–Неполноприводныекоординатыqi1десятироботовбеззапаздывания. Одинроботподверженвозмущению.Вышеупомянутый пример показывает способность управлять изолированным набором роботов в бегущей сети. Следующая статья обсуждает технические аспекты этих систем задержки, а именно, дистанционное управление мехатронными комплексами через глобальный Интернет. Эволюция современной технологии достигла такого уровня, когда стало возможно управлять объектом в режиме реального времени далеко от конечного пользователя через океан. Однако есть все еще большое количество неразрешенных или неразрешенных проблем.Синтез алгоритма управления стабилизации маятника Фуруты относительно неустойчивого опрокинутого положения равновесия. Экспериментальное моделирование.4.1.Математическая модель маятника ФурутыМаятник Фуруты или вращающийся перевернутый маятник был изобретен в 1992 году в Токийском технологическом университете Кацухисой Фурутой. Этот маяник использовался им и его коллегами для исследований в области теории автоматического управления. Данный объект управления является неполноприводным и нелинейным изза действующих на него гравитационных, кориолисовых и центробежных сил. С тех пор многие ученые использовали его в своих исследованиях и разработках. Внешний вид данного маятника представлен на рисунке 4.1.Маятник Фуруты состоит из руки, которая вращается в горизонтальной плоскости электродвигателем, и рычага, который вращается в вертикальной плоскости.Рисунок 4.1 -МаятникФурутыКак видно из рис. 4.1, маятник Фурута имеет две степени свободы и для описания его динамики удобно использовать уравнение Эйлера - Лагранжа, которое имеет следующий вид:гдеL–функцияЛагранжа;ωi(i =1,2)–скоростьдвиженияплечаирычага;W=M–Mтр–векторобобщенныхвнешнихвоздействий;(i=1,2)–соответствующие углыповоротаплечаи рычага.Дляобъектасдвумястепенямисвободыуравнение(4.1)принимаетвид:где1–скоростьдвиженияплеча;1–уголповоротаплеча;МДВ– моментразвиваемыйдвигателем;МТ–моменттрениявсуставах;2– скоростьдвижениярычага;2 –уголповоротарычага.При выполнении функции Лагранжа будем считать, что плечо без потенциальной энергии и двигатель полностью соединены. Тогда математическое описание маятника Фурута на основе уравнений (4.2) можно найти в виде [10]:где JДВ - моментинерциидвигателя;m1–массаплеча; m2 – масса рычага;m3 - массагруза,подвешенногонавершинерычага;l1и l2 – длинаплеча ирычагасоответственно;MT Ri/((Ri/a)21)0.5C0i; (4.3)R–тангенсугланаклонааппроксимированнойпрямой;C0 - весовыекоэфициенты.Двигатель рулевого управления действует на маятник, изменяя момент на валу, определяемый параметрами двигателя, его скоростью и приложенным напряжением.где постоянная времени якоря; RЯ – сопротивление якоря; kФ – конструктивная постоянная двигателя; Uу – управляющее воздействие, подаваемое на двигатель.В оперативной форме система уравнений маятникового электромеханического объекта будет следующей:Для упрощения записи уравнений (4.5) приняты следующие обозначения:с учетом, которых уравнения динамики (4.5) принимают следующий вид:При этом представленная математическая модель учитывает динамику электромеханической системы, которая состоит из маятника и рулевого привода. Эта модель по существу не линейна, и для линейных динамических объектов разработаны известные способы решения проблемы. Поэтому представленная модель должна быть линеаризована.Далее будет представлен простейший случай линеаризации путем разложения правых частей уравнений (4.7) на ряд Тейлора.Линеаризация маятника ФурутыПри линизации считается, что рычаг находится в вертикальном положении, то есть вблизи рабочей точки π ряда Тейлора.Авторы [10] показали, что характер маятникового движения фуруты зависит от угла поворота плеча φ1.Поэтому мы линеаризованы в три координаты - скорость плеча, угол и скорость рычага.Математическая модель (4.7) на рабочем месте с расширением серии Тейлор принимает форму:Линеаризованная модель не имеет такой линейности, как sin, так как ее переходные процессы показаны на рис. Первые три графика показывают ускорение плеча, скорость и угол поворота. Остальные три колонки показывают плавающее движение рычага.Для выравнивания линеаризованной модели (8) по форме синтеза регулятора необходимо записать соотношения с выраженными коэффициентами для переменных:гдеb12,b21,…,b44,b4M - постоянныекоэффициенты.Рисунок 4.2 -ПереходныепроцессылинеаризованнойсистемыРешениезадачи АКРосуществляетсяспомощьюуравненийвидаpYBYMU, (4.10)гдеY–векторфазовыхкоординатмаятникаФуруты;B–матрицакоэффициентов;M– вектор коэффициентов при управляющих воздействиях;U–вектор управлений.ДлямаятникаФурутыимеем:Построение модели в MATLAB Simulink:Рисунок 4.3 — Модель маятника ФурутыДля моделирования объекта управления была использована программа MATLAB Simulink, так как она обладает большим количеством инструментов для моделирования и создания систем управления.Общий вид собранной нелинейной модели представлен на рисунке 4.3. Матрица, умножающаяся на вектор угловых ускорений, содержащая в себе инерционные параметры, а также матрица, умножающаяся на вектор угловых ускорений, учитывающая трение, а также центробежные и корриолисовы силы сформированы в отдельные подсистемы для удобоства чтения схемы.Содержимое этих подсистем изображено на рисунках 4.4 и 4.5.Рисунок 4.4 — Матрица инерцииРисунок 4.5 — Матрица трения и корриолисовых силДля получения вектора угловых ускорений необходима обратная матрица инерции. На рисунке 4.6 изображена схема получения такой матрицы.Рисунок 4.6 — Схема получения обратной матрицыДля проверки правильности построения модели было проведено моделирование свободного движения, то есть при V = 0. Начальные условия равны: θ0 = 0,θ1 = 2,θ˙0 = 0,θ˙1 = 0. Результаты приведены на рисунке 6, где θ0 соответствует красной пунктирной линии, а θ1 соответствует синей сплоншной линии.Рисунок 4.7 — Свободное движениеСистемауправлениядвижениеммаятника ФурутыПостановказадачиНеобходимо синтезировать систему управления движением неполноприводного робота – Маятника Фуруты. Для этого будет использован Линейноквадратичный регулятор.Введем условные обозначения, представленные в таблице 1.Таблица 1.Физическая величинаОбозначениеЗначениеУгол поворота рычагаθ0–Скорость поворота рычагаθ˙0–Угол поворота маятникаθ1–Скорость поворота маятникаθ˙1–Длина рычагаL00.215 мИнерция рычагаI00.0175 кг×м2Коэффициент трения рычагаC00.118 Н×м×сМассаm10.0538 кгДистанция до центра тяжести маятникаl10.113 мИнерция вокруг центра тяжестиJ10.000198 кг×м2Коэффициент трения маятникаC00.000083 НмсСистемауправлениядвижениемнеполноприводногороботаЛинейно-квадратичный регулятор один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества. Для непрерывных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений: x˙ = Ax + Buс критерием оптимальности: закон управления по обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать указанный критерий оптимальности. Этот закон управления имеет вид: u = −KxДля нахождения K необходимо получить модель маятника в пространстве состояний. Для этого выведем уравнения угловых ускорений в явном виде. Перемножив матрицы получаем:Отсюда θ¨0 и θ¨1 равны:Подставив второе уравнение в первое получим:Для дальнейшего удобства заменим переменные:Тогда угловое ускорение рычага равно:Повторим те же действия для получения θ¨1:Сноваподставимзамену:θ¨1 = a3θ1 + a4θ˙1 + a5a6V + a5a1θ˙0 + a5a2θ¨1В итоге угловое ускорение маятника равно:В результате модель маятника в пространстве состояний равна:Получив систему уравнений в пространстве состояний найдем коэффициент K воспользовавшись функцией lqr в MATLAB. В качестве аргументов функция принимает матрицы A и B из системы уравнений, а также матрицы Q и R из критерия оптимальности.В результате вектор K равен:[−5.477 −61.385 −3.943 −5.973]Построение первой части регулятораТак как линейно­квадратичный регулятор применим только к линейным системам, необходимо привести маятнику к рассчитанной линейной модели. Для этого необходимо раскачать маятник к верхнему положению, где θ1 = 0 и θ˙1 = 0. Подав сигнал, изображенный на рисунке 4.8 с амлитудой 1.9 и временными отрезками t1 = 0.006 , t2 = 0.245 , t3 = 0.355 , t4 = 0.7 и значениями физических величин маятника, указанных в таблице 1, получаем значения θ1 и θ˙1 близкие к необходимым.Рисунок 4.8 — Входной сигнал для получения линейной моделиПостроение второй части регулятораВторая часть регулятора представляет из себя линейно­квадратичный регулятор с коэффициентом K, найденным ранее. Для этого необходимо умножить K на вектор состояний x равный [θ0 θ1 θ˙0 θ˙1] , а полученный сигнал подадим на вход блока, который переключит сигнал на линейно­квадратичный регулятор после прошествия t4 = 0.7с.В результате собранная в MATLAB Simulink система представлена на рисунке 4.9.Рисунок 4.10 — Система управления маятником ФурутыРезультаты моделированияВ результате моделированиябылиполучены график управляющего сигнала представленный на рисунке 4.11.График изменения углов поворота θ0 и θ1 представлены на рисунке 4.12, где красной пунктирной лини соответсвует θ0, а синей сплошной линии соответсвует θ1.График изменения угловых скоростей θ˙0 и θ˙1 представлены на рисунке 4.13, где красной пунктирной лини соответсвует θ˙0, а синей сплошной линии соответсвует θ˙1.Рисунок 4.11 — Управляющий сигналРисунок 4.12 — График изменения углов поворота маятника ФурутыРисунок 4.13 — График изменения скорости поворота маятника ФурутыЗаключениеМаятник Фурута стал отличной точкой отсчета для сообщества автоматического управления в последние годы, что, среди прочего, обеспечивает лучшее понимание основанных на модели нелинейных методов управления. Поскольку большинство этих методов основаны на инвариантах и/или интегралах движения, динамическая модель играет важную роль. В диссертации подробно описывается динамическая модель, разработанная для маятника. Решение основано на базовой динамической модели, основанной на классической механике и выполненной для компенсации неконсервативных моментов.Таким образом, разработанная квазиконсервативная «практическая» модель позволяет проектировать все контроллеры как строго консервативные. Также сообщается о проверке всех разработанных и проверенных нелинейных контроллеров на обследованном маятнике.Многолетнее управление неавторизованными механическими системами привлекло интерес управленческого инженерного сообщества. Неавторизованные механические системы - системы управления с меньшим контролем, чем степени свободы. Именно в этом заключается недостаток входных данных в основной сложности управления ими. Кроме того, в настоящее время управление несанкционированными механическими системами является активным направлением исследований благодаря их широкому применению в робототехнике, аэрокосмической и морской технике. Примерами неактивных механических систем являются роботы с гибкой связью, мобильные роботы, движущиеся роботы, роботы на мобильных платформах, автомобили, локомотивные системы, змеи и плавсредства, акробатные роботы, самолеты, космические аппараты, вертолеты, спутники, лодки и подводные лодки.Одной из самых известных неприменимых механических систем является маятник, который является хорошей точкой отсчета для многих целей управления, привлекая внимание многих исследователей на протяжении многих лет. Доступной версией маятника является показанный вращающийся маятник. Вращающийся маятник является одним из самых сложных маятников с двумя степенями свободы, так как его конфигурация обеспечивает центробежные моменты, которые являются квадратичными по скорости, вызывая множество интересных и сложных проблем управления.Вращающийся маятник также известен как маятник фурута. Этот маятник представляет собой нелинейную механическую систему, которая нестабильна в требуемом вертикальном положении. На самом деле он показывает в основном две разные и очень интересные управленческие проблемы. Первый - накачивание маятника вверх из спокойного (нижнего) в вертикальное (верхнее) положение. Работа контролируется стратегиями управления энергией. Как только маятник приближается к требуемому вертикальному расположению с низкой скоростью, стратегия стабилизации или балансировки «захватывает» его там. Другие проблемы управления представляют большой интерес, например, стабилизация автономных колебаний и управление с использованием бифуркационного анализа.Список литературы1. Халил Х.К. Нелинейные системы. М.– Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 2. Furuta , К., Ямакита, М. и Кобаяши, С. (1992) «Управление движением вверх перевернутого маятника с использованием обратной связи с псевдосостояниями», Журнал системной инженерии, 206 (6), 263-269.3. Сюй, Ю., Ивасе, М. и Фурута, К. (2001) «Оптимальное по времени управление раскачиванием одиночного маятника», Журнал динамических систем, измерений и управления, 123 (3), 518-527 .4. Фурута, К., Ивасе, М. (2004) «Анализ времени раскачивания маятника», Бюллетень Польской академии наук: технические науки, 52 (3), 153-163.5. Ивасе, М., Острём, К.Дж., Фурута, К. и Окессон, Дж. (2006) «Анализ безопасного ручного управления с использованием маятника Furuta», Труды Международной конференции IEEE по приложениям управления, 568-572.6. Я.А. Акоста, «Маятник Фуруты: консервативная нелинейная модель для теории и практики», Математические проблемы в инженерии, вып. 2010, идентификатор статьи 742894, 29 стр. http://www.hindawi.com/journals/mpe/2010/742894.html7. Окессон, Дж. ИОстром, К.Дж. (2001) «БезопасноеручноеуправлениемаятникомFuruta», In Proceedings 2001 IEEE International Conference on Control Applications (CCA'01), pp. 890-895.8. Олфати-Сабер, Р. (2001) «Нелинейное управление неразработанными механическими системами с применением в робототехнике и аэрокосмических аппаратах», докторская диссертация, факультет электротехники и информатики, Массачусетский технологический институт, Кембридж, Массачусетс. http://www.cds.caltech.edu/~olfati/thesis/9. Фантони, И. и Лозано, Р. (2002) «Нелинейное управление неразрушающимися механическими системами», Springer-Verlag, Лондон.10. Эгеланд, О. и Гравдал, Т. (2002) «Моделирование и симуляция для автоматического управления», Морская кибернетика, Тронхейм, Норвегия, 639 стр., ISBN82-92356-00 -2 .11. Хирата, Х., Хага, К., Анабуки, М., Оучи, С. и Ратироч-Анант, П. (2006) «Самонастраивающееся управление перевернутым маятником поворотного типа с использованием двух видов адаптивных контроллеров. ”, Материалы конференции IEEE 2006 г. по робототехнике, автоматизации и мехатронике, 1-6. http://lab8.ec.u-tokai.ac.jp/RAM062.pdf12. Ратироч-Анант, П., Анабуки, М. и Хирата, Х. (2004) «Самонастраивающееся управление для вращательный перевернутый маятник на основе подхода собственных значений ”, Труды TENCON 2004, Конференция IEEE Region 10, Том D, 542-545. http://lab8.ec.u-tokai.ac.jp/TENCON2004_D-542.pdf13. Баба, Ю., Идзуцу, М., Пан, Ю. и Фурута, К. (2006) « Разработка метода управления вращением маятника », Труды международной совместной конференции SICE-ICASE, Корея.14. Крейг, К. и Автар, С. (2005) «Перевернутые маятниковые системы: пример конструкции мехатронной системы с вращающимся и приводимым от руки рычагом», Труды 7-й Международной конференции Форума мехатроники, Атланта. http://www-personal.umich.edu/~awtar/craig_awtar_1.pdf15. Автар, С., Кинг, Н., Аллен, Т., Банг, И., Хэган, М., Скидмор , Д. и Крейг, К. (2002) «Системы с перевернутым маятником: вращающийся и управляемый рукой - тематическое исследование мехатронной системы», Mechatronics, 12, 357-370. http://www-personal.umich.edu/~awtar/invertedpendulum_mechatronics.pdf16. Каззолато, Б.С. и Прайм, З. (2011) «О динамике маятника Фурута», Журнал науки и техники в области управления , Том 2011 (2011), идентификатор статьи 528341, 8 стр. http://downloads.hindawi.com/journals/jcse/2011/528341.pdfВикипедия site:datewiki.ru