Решение алгебраических уравнений в радикалах

Проблема разрешимости уравнения в радикалах может быть поставлена только в отношении определенной области рациональности. Он указывает, что можно модифицировать область рациональности, добавив в нее новые известные величины.[13]В этой статье Галуа писал: "Более того, мы увидим, что свойства и трудности уравнения могут быть совершенно разными в зависимости от величин, присоединенных к нему".Галуа доказал, что для любого уравнения , в той же области рациональности можно найти определенное уравнение, называемое нормальным. Корни этого уравнения и соответствующего нормального уравнения рационально выражаются друг другом.Доказательство этой теоремы сопровождается интригующим замечанием Галуа: "Существенно, что из этого предложения можно вывести, что каждое уравнение зависит от такого вспомогательного уравнения, что все корни нового уравнения являются рациональными функциями друг друга".[12]Нормальное уравнение - это уравнение, обладающее тем свойством, что все его элементы рационально выражаются одним из них и элементами поля коэффициентов.Примером нормального уравнения может быть: Его элементами являютсяНормальным также может быть, например, квадратное уравнение.Примечательно, однако, что Галуа не останавливается на конкретном исследовании нормальных уравнений, он просто отмечает, что такое уравнение "легче решить, чем любое другое". Затем Галуа переходит к рассмотрению подстановки корней.Он говорит, что все подстановки корней нормального уравнения образуют группу G. Это группа Галуа уравнения Q и, собственно, самого уравнения. Эта группа обладает, как заметил Галуа, замечательным свойством: каждое рациональное отношение между корнями и элементами R инвариантно при перестановках G. Таким образом, Галуа связал с каждым уравнением группу перестановок его корней. Он также ввел (1830) термин "группа", адекватное современное определение, хотя и не столь формализованное.[12]Структура группы Галуа оказалась связанной с проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Для возникновения разрешимости необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешимой. Это означает, что в этой группе существует цепочка нормальных делителей с индексами простых.Напомним, кстати, что нормальные делители, или, кстати, инвариантные подгруппы, - это подгруппы группы G. Где g - элемент группы G.Общие алгебраические уравнения не имеют такой цепочки, потому что группы слагаемых имеют только один нормальный делитель с индексом 2 - подгруппу всех четных слагаемых. Поэтому эти уравнения в радикалах, вообще говоря, неразрешимы. (И мы видим связь между результатом Галуа и результатом Абеля).[16]Галуа сформулировал следующую фундаментальную теорему:Для любого уравнения и любой области рациональности существует группа перестановок корней этого уравнения, обладающая тем свойством, что любая рациональная функция - т.е. функция, построенная рациональными операциями от этих корней и элементов области рациональности - сохраняющая свои числовые значения при перестановке в этой группе, имеет рациональные значения (принадлежит области рациональности), и наоборот: любая функция, принимающая рациональные значения, имеет эти значения при перестановке в этой группе.Теперь рассмотрим конкретный пример, которым занимался сам Галуа. Задача состоит в том, чтобы найти условия, при которых несводимое уравнение степени , где простое, разрешимо двучленным уравнением. Галуа обнаруживает, что эти условия заключаются в возможности упорядочить корни уравнения таким образом, что указанная "группа" перестановок задается формулами[13]Где может быть равно любому числу , а b равно . Такая группа содержит не более p(p -- 1) перестановок. Если при ?=1 существует только p перестановок, мы говорим о циклической группе; в общем случае мы называем группы метациклическими. Таким образом, необходимым и достаточным условием разрешимости невыводимого уравнения простой степени в радикалах является требование, чтобы его группа была метациклической группой - в частном случае, циклической группой.Теперь мы можем очертить ограничения, наложенные на область применения теории Галуа. Это дает нам некоторый общий критерий разрешимости уравнений с помощью резольвенты и указывает путь к их восстановлению. Но тут же возникает ряд дальнейших проблем: найти все уравнения, имеющие, учитывая область рациональности, некоторую заранее определенную группу перестановок; выяснить, сводимы ли два уравнения такого рода друг к другу, и если да, то какими средствами, и так далее. Все это вместе взятое представляет собой огромный комплекс проблем, которые до сих пор не решены. Теория Галуа указывает нам на них, не предоставляя, однако, никаких средств для их решения.[15]Аппарат, введенный Галуа для установления разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, имел значение, выходящее за рамки вышеупомянутой проблемы. Его идея изучить структуру алгебраических полей и связать их со структурой групп с конечным числом слагаемых стала плодотворной основой для современной алгебры. Однако она не сразу получила признание.[15]Перед роковой дуэлью, оборвавшей его жизнь, Галуа за одну ночь сформулировал свои важнейшие открытия и отправил их своему другу О. Шевалье для публикации в случае трагического исхода. Вот известный отрывок из письма к Х. Шевалье: "Вы публично попросите Якоби или Гаусса высказать мнение не о достоверности, а о значимости этих утверждений. Тогда вы найдете, я надеюсь, людей, которые найдут свое применение в расшифровке всей этой путаницы". Таким образом, Галуа обращается не только к теории уравнений, в том же письме он формулирует глубокие результаты из теории абелевых и модулярных функций.Письмо было опубликовано вскоре после смерти Галуа, но содержащиеся в нем идеи не нашли отклика. Лишь спустя 14 лет, в 1846 году, Лиувилль прорвался и опубликовал все математические работы Галуа. В середине XIX века связное изложение теории Галуа появилось сначала в двухтомной монографии Серре, а также в работе Э. Бетти A852). Дальнейшее развитие идеи Галуа получили лишь в 1970-х годах.Понятие группы в теории Галуа становится мощным и гибким инструментом. Коши, например, также изучал подстановки, но ему не пришло в голову отвести аналогичную роль понятию группы. Для Коши, даже в его более поздних работах 1844-1846 годов, "система сопряженных перестановок" была мощным и гибким инструментом. "Система сопряженных подстановок" была неразложимой концепцией, очень жесткой; он использовал ее свойства, но так и не раскрыл понятия подгрупп и нормальных подгрупп. Эта идея относительности, собственное изобретение Галуа, впоследствии проникла во все математические и физические теории, берущие свое начало в теории групп. Мы видим эту идею в действии, например, в программе Эрлангена.Значение работы Галуа заключается в том, что были полностью раскрыты новые глубинные математические закономерности в теории уравнений. Как только открытия Галуа были освоены, взгляд и цели самой алгебры существенно изменились, исчезла теория уравнений - появились теория полей, теория групп и теория Галуа. Преждевременная смерть Галуа стала невосполнимой потерей для науки. Потребовались еще десятилетия, чтобы заполнить пробелы, понять и улучшить работу Галуа. Благодаря усилиям Кали, Серре, Жордана и других, открытия Галуа были преобразованы в теорию Галуа. В 1870 году Джордан в своей монографии "Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях" представил теорию в систематизированной форме, понятной всем. С тех пор теория Галуа стала частью математического образования и основой для новых математических исследований.[18]Главная ценность работы Галуа заключается даже не в полученных им конкретных результатах, а в разработанном для их получения математическом аппарате, который сосредоточен на понятии группы. Непреходящее значение работы Галуа заключается в осознании того, что идея симметрии, ранее ассоциировавшаяся только с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль в математике в целом и в естественных науках в целом. Строго говоря, теория разрешимости уравнений в радикалах важна не столько сама по себе, и уж тем более не для практического решения алгебраических уравнений - здесь гораздо более уместны и надежны приближенные методы - она важна главным образом как конкретное воплощение общей идеи симметрии. Видимо, сам Галуа это прекрасно понимал и, выдвигая критерий разрешимости уравнений в радикалах, просто надеялся, что современникам будет легче судить о силе его общих идей на примере конкретной проблемы, неразрешимой на протяжении многих веков.[19,20]ЗаключениеВ ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме, изучить различные способы решения уравнений, научиться решать квадратные уравнения несколькими методами. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональными для использования будут способы, изучаемые в школе: по формулам, с использованием теоремы Виета, а также метод используя свойства коэффициентов.Касаясь истории вопроса решения алгебраических уравнений, можно сказать, что в Древнем мире данному вопросу уделяли много времени, изучая наиболее приемлемые методы решения подобных задач. Таким образом, можно сделать вывод, что люди прошлого имели острый ум, и их действительно захватывала данная наука. Вопрос о решении алгебраических уравнений в радикалах изучался человечеством на протяжении многих веков. Учёные продвигались дальше в изучении данной темы. В итоге был, достигнут колоссальный успех, который и в нынешнее время считается одним из важнейших достижений человечества в области математики.Список использованной литературы1. В. Чеботарев «Основы теории Галуа», Москва, 19342. Ван-дер-Варден Б.Л. «Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции» М., 20003. Э. Кольман «История математики в древности».4. В.А.Никифоровский «В мире уравнений». М.: Наука, 19875. Стройк Д.Я «Краткий очерк истории математики» М.: 1990.6. Юшкевич А.П.. «Математика в ее истории». М.: Наука, 1996.7. Рыбников К.А.. «История математики». М.: Наука, 1994.8. Кушнир И.А. «Уравнения», Киев 1996.9. Гутер Р.С., Полунов Ю.Л. «Джироламо Кардано». - М., 198010. Цыпкин А.Г. Под ред. С.А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». - М.: Наука, 1980.11. Глейзер Г.И. «История математики в школе». М., 1964.12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов», М., 1986. 13.Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-го класса средней школы, 1977. 14. Омельченко В.П. Математика: учебное пособие / В.П. Омельченко, Э.В.Курбатова. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. - 380с.Интернет-источники:15.Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков — МегаЛекции (megalektsii.ru)16.https://scienceforum.ru/2021/article/201802840117.https://al-shell.ru/articles/reshenie-uravneniy-v-radikalah-istoriya-voprosa/18. https://habr.com/ru/post/568552/19.https://b6.cooksy.ru/articles/reshenie-algebraicheskih-uravneniy-v-radikalah-istoriya-voprosa/20.https://lfirmal.com/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85-%D1%83%D1%80%D0%B0/