Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции средствами классических неравенств

Однако, в реальных ситуациях аналитическое решение может быть затруднительным или вообще невозможным. В таких случаях применяются численные методы решения экстремальных задач, которые позволяют получить приближенное решение с заданной точностью.Теория экстремальных задач имеет широкие практические применения. Она используется в решении задач оптимизации в экономике и финансах, при проектировании и оптимизации технических систем, в оптимизации маркетинговых стратегий и многих других областях. Более того, методы оптимизации, базирующиеся на теории экстремальных задач, являются неотъемлемой частью современных компьютерных технологий.Решение многих алгебраических задач на максимум и минимум сводится к исследованию функции вида f(x) =. При нахождении наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции или выделяется полный квадрат двучлена:или используется следующая теорема.  Квадратичная функция у= принимает  экстремальное значение при  = , равное =. Это значение будет наибольшим (максимумом), если a <0, и наименьшим (минимумом), если a > 0.Нередко в обучении используют экстремальные задачи, основанные на теореме об экстремуме квадратичной функции. Важным следствием этой теоремы является тот факт, что произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшей величины только в случае, когда эти множители равны. Применение экстремальных задач в обучении имеет свою педагогическую обоснованность. Они способствуют формированию у учащихся понимания того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получить максимально качественный результат. Решая такие задачи, учащиеся могут наблюдать абстрактный характер математических понятий, а также их эффективное применение при решении практических, повседневных задач.Задача 1. Заготовлен материал для изгороди длиной l м. Необходимо этой изгородью огородить прямоугольную площадку, имеющую наибольшую площадь. Какими должны быть размеры этой площадки? Задача 2. Из имеющихся досок можно построить забор длиной в 200 метров. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны уже построенную стенку.Пусть длину х имеют две стороны забора, а параллельная стенке сторона имеет длину у. Тогда по условию задачи 2х+у=200, выразим у=200–2х, у=2(100–х). Обозначим через S площадь двора и получим S=ху, S(х)=2х(100–х). Поскольку графиком функции является парабола с направленными ветвями вниз и пересекают они ось абсцисс в точках 0 и 100, то вершине параболы соответствует число 50 на этой оси.Ответ: стороны забора имеют длины 50 м, 100м и 50 м.Рассмотрим ещё несколько практических примеров задач на нахождение экстремума функций.Пример 1. Найдите все экстремумы функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.Решение: Для нахождения экстремумов функции f(x) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю. Найдем первую производнуюf'(x) = 3x^2 - 6x + 2.Теперь решим уравнение f'(x) = 0:3x^2 - 6x + 2 = 0.Используя формулу дискриминанта, найдем корни уравнения:D = (-6)^2 - 4 ∙ 3 ∙ 2 = 12 > 0, x1,2 = (6 ± √12) / 6.Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем значения второй производной функции:f''(x) = 6x - 6.Теперь определим характер экстремумов функции f(x) в точках x = x1 и x = x2. Если f''(x1) > 0, то x1 - точка максимума, если f''(x1) < 0, то x1 - точка минимума, если f''(x1) = 0, то необходимо продолжить анализ более высоких производных. Аналогично для x2.f''(x1) = 6x1 - 6 = 6(6 - √12)/6 - 6 = √12 - 6 < 0,f''(x2) = 6x2 - 6 = 6(6 + √12)/6 - 6 = √12 + 6 > 0.Таким образом, x2 - точка минимума функции f(x), а x1 - точка максимума. Чтобы найти значения функции в найденных точках, подставим их в f(x):f(x1) = (6 - √12)^3 - 3(6 - √12)^2 + 2(6 - √12),f(x2) = (6 + √12)^3 - 3(6 + √12)^2 + 2(6 + √12).Пример 2. Найдите минимальную площадь прямоугольника, периметр которого равен 12.Решение: Пусть длина прямоугольника равна x, а его ширина - y. Тогда периметр равен P = 2x + 2y = 12. Из этого уравнения находим выражение для одной из переменных:y = 6 - x.Площадь прямоугольника определяется по формуле S = xy = x(6 - x) = -x^2 + 6x. Для нахождения минимальной площади рассмотрим производную функции:S'(x) = -2x + 6.Приравниваем её к нулю и находим точку минимума:S'(x) = 0 -2x + 6 = 0, x = 3.Так как производная изменяет знак с отрицательного на положительный при x < 3 и с положительного на отрицательный при x > 3, то x = 3 - точка минимума функции S(x). Теперь найдём значение минимальной площади прямоугольника:S(3) = -3^2 + 6 ∙ 3 = 9.Таким образом, минимальная площадь прямоугольника равна 9 квадратных единиц, достигается она при длине стороны x = 3, а ширина равна y = 6 - x = 3.Пример 3. Найдите точки минимума функции f(x) = e^x - x - 1.Решение: Находим производную функции:f'(x) = e^x - 1.Приравниваем её к нулю и находим точку экстремума:e^x - 1 = 0, e^x = 1, x = 0.Чтобы убедиться, что x = 0 действительно является точкой минимума, найдём значение второй производной:f''(x) = e^x.Значение второй производной в точке x = 0 равно f''(0) = e^0 = 1, что соответствует минимуму функции. Таким образом, точка минимума функции f(x) равна x = 0, а значение минимальной точки равно f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0.Пример 4. Найдите точки максимума и минимума функции f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1.Решение: Находим первую производную функции:f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2.Приравниваем её к нулю и находим точки экстремума. Для этого можем воспользоваться графическим методом, строим график производной функции и находим его пересечения с осью Oх.Из графика видно, что уравнение f'(x) = 0 имеет три корня: x1 ≈ 0.22, x2 ≈ 1.53, x3 ≈ 2.25. Переходим к нахождению второй производной функции:f''(x) = 12x^2 - 24x + 10.Для каждой из найденных точек корней уравнения f'(x) = 0 проверяем знак второй производной функции:f''(x1) = 12(0.22)^2 - 24(0.22) + 10 ≈ -0.87 < 0, f''(x2) = 12(1.53)^2 - 24(1.53) + 10 ≈ 4.85 > 0, f''(x3) = 12(2.25)^2 - 24(2.25) + 10 ≈ -3.37 < 0.Таким образом, точки x2 ≈ 1.53 - точка максимума функции f(x), x1 ≈ 0.22 и x3 ≈ 2.25 - точки минимума функции f(x).Чтобы найти значения функции в найденных точках, подставим их в выражение для f(x):f(x1) ≈ -0.39, f(x2) ≈ 1.76, f(x3) ≈ -1.64.ЗаключениеИсследование экстремумов функций является одним из основных направлений математического анализа и имеет широкое применение в различных областях науки и техники. Поэтому, понимание основных понятий и определений, связанных с экстремумами функций, является важным для теоретических и практических приложений.В данной работе были рассмотрены основные понятия, такие как функция и экстремум функции. Также были описаны методы нахождения экстремумов с использованием производных функций и анализа поведения функции в точке. Для решения задач на определение экстремумов функций были представлены классические неравенства – неравенство Коши, Бернулли и АМ-ГМ.Неравенство Коши позволяет оценить произведение двух чисел, основываясь на значении их модулей, а неравенство Бернулли – оценить степень числа-основания при возведении в степень. Неравенство АМ-ГМ имеет широкое применение в задачах на нахождение среднего арифметического и среднего геометрического нескольких чисел.Важно отметить, что успешное решение задач на определение экстремумов функций является ключевым для нахождения оптимальных решений в различных областях науки и техники. Так, например, в экономике экстремумы функций используются для нахождения оптимальных решений в задачах оптимизации, а в физике для нахождения минимальной или максимальной энергии тела или системы.В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:Экстремумы функций являются важными точками на графике функции.Для нахождения экстремумов функций используют производную функции и анализ её поведения в точке.Классические неравенства, такие как неравенство Коши, Бернулли и АМ-ГМ, широко используются в задачах на определение экстремумов функций.Успешное решение задач на нахождение экстремумов функций имеет применение в различных областях науки и техники.Таким образом, понимание основных понятий, определений и классических неравенств, связанных с экстремумами функций, является важным для широкого круга научных и практических приложений, и может быть использовано в различных областях науки и техники.Список использованных источниковАдамс Р.А., Эссекс Ч. Калкулус: полный курс. 6-е издание. Издательство "Питер". 2008. 1113 стр.Антон Г., Бивенс И., Дэвис С. Калькулюс. 10-е издание. Издательство "Мир". 2017. 1312 стр.Апостол Т. Калькулюс. 2-е издание. Издательство "Мир". 1977. 704 стр.Берман А., Пламоннз Р. Неотрицательные матрицы в математических науках. Издательство "Физматлит". 2002. 416 стр.Ворович И. И. Краткий курс математического анализа. Издательство "Мир". 2001. 752 стр.Гельфанд И., Глаголева И. Функции и графики. Издательство "Машиностроение". 1999. 160 стр.Леонтьев А.Н. Задачи по математическому анализу. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". 1969. 424 стр.Писарев А. А., Леонтьев А. Н. Краткий курс математического анализа. Издательство "Наука". 2003. 528 стр.Соколов Ю.И., Мостовой В.В. Сборник задач по математическому анализу. Издательство "Вузовская книга". 2012. 288 стр.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 2-х томах). Издательство "Высшая школа". 2002. 1192 стр.Далингер В.А. Классические неравенства и решение задач с их использованием: учебное пособие. Издательство "Амфора". Омск, 2013. 204 стр.Далингер В.А. Методика обучения математике. Практикум по решению школьных задач: учебное пособие. Издательство "Дом науки". Москва, 2012. 160 стр.Сорокин Г.А. Экстремум и неравенства// Математика в школе.- 1997.- №1. 30-34 стр.Далингер В.А. Применение классических неравенств к решению задач на наименьшее и наибольшее значения функций//Математика.Ширяев А.Н. Вероятность-1. Математический анализ для экономистов. 2-е издание. Издательство "МЦФЭР". 2001. 496 стр.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 9-е издание. Издательство "Физматлит". 2017. 520 стр.Рудин В. Реальный и комплексный анализ. 3-е издание. Издательство "Мир". 1988. 416 стр.Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. Издательство "Наука". 1978. 236 стр.Хинчин А.Я. Лекции по математической теории устойчивости. Издательство "ГИТТЛ". 1948. 165 стр.Федорюк М.В. Контуры интегралов и сумм. Издательство "Наука". 1987. 320 стр.Иванович В.О., Николаев И.В. Основы вычислительной математики. Издательство "Лань". 2006. 424 стр.Кац Н. М., Берджесс Ш. Функции комплексной переменной. Издательство "Мир". 1970. 630 стр.Лубкин А.И., Поспелов А.Г. Сборник задач по теории функций одного комплексного переменного. Издательство "Высшая школа". 1973. 240 стр.Пел А.О. Элементарные задачи по теории функций и комплексного анализа. Издательство "Наука". 1972. 430 стр.Рудин В. Функциональный анализ и сингулярные интегральные операторы. Издательство "Мир". 1977. 424 стр.