Анализ фрагмента системы автоматического управления судном

Характеристический полином замкнутой системы:
(X)

По частотному критерию Михайлова, система устойчива, если годограф Михайлова системы начинается на положительной полуоси, и раскручиваясь против часовой стрелки, последовательно проходит n четвертей (n – порядок характеристического полинома системы), не проходя через точку начала координат.
На рисунке 4.1 представлены годографы Михайлова, соответствующие устойчивым системам 1, 2, 3 и 4 порядков.

Рис. 4.1 – Годограф Михайлова замкнутой системы
Проведём в характеристическом полиноме замкнутой системы замену р = i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
(XI)

Выделяем действительную и мнимую составляющую:
(XII)

Заполняем таблицу значений:
w X(w) Y(w) 0 9 0 0.2 8.892 0.531 0.4 8.573 1.005 0.6 8.053 1.365 0.8 7.351 1.557 1 6.492 1.522 1.2 5.508 1.204 1.4 4.439 0.547 1.6 3.333 -0.506 1.8 2.244 -2.012 2 1.234 -4.026 2.2 0.372 -6.606 2.4 -0.267 -9.808 2.6 -0.598 -13.689 2.8 -0.531 -18.305 3 0.032 -23.713 3.2 1.196 -29.969 3.4 3.074 -37.13 3.6 5.785 -45.252 3.8 9.457 -54.393 4 14.224 -64.608


Откладывая по оси абсцисс действительную составляющую, а по оси ординат мнимую составляющую, строим годограф Михайлова:

Рис. 4.2 – Годограф Михайлова замкнутой системы

Годограф Михайлова нарушает порядок перехода четвертей, т.к. из I четверти следует в IV четверть, а не во II, что соответствует поведению годографа неустойчивой системы.

Замкнутая система неустойчива.







Задание 5


Запасы устойчивости определим с помощью логарифмических частотных характеристик.
 Простота и наглядность метода объясняются простотой построения логарифмических частотных характеристик и очевидной связью параметров системы с видом этих характеристик. Применение метода ЛЧХ дает возможность наглядно видеть влияние того или иного параметра системы на ее устойчивость и переходный процесс, а также позволяет сравнительно просто определить характеристику корректирующего устройства, обеспечивающего требуемые показатели качества системы
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ.


Рис. 5.1 – Разомкнутая и замкнутая САР

Разомкнутая система устойчива, т.к. её знаменатель представлен в виде произведения 4 множителей 1 порядка со всеми положительными коэффициентами. Тогда, по логарифмическому критерию, замкнутая система будет устойчива, если на частоте среза ЛАЧХ разомкнутой системы (частоте, на которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) значение ЛФЧХ разомкнутой системы составляет: φ(ωср) > -180º.

В задании 1 была определена ПФ разомкнутой системы:


Для расчёта ЛАЧХ и ЛФЧХ перейдём к комплексной частотной характеристике (КЧХ), произведя замену оператора Лапласа p→i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:


Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:


Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющая соответственно. Выделяем действительную и мнимую составляющую:


Выражение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) A(ω):


Выражение фазовой частотной характеристики (ФЧХ) φ(ω):


ЛАЧХ – это АЧХ в логарифмическом масштабе:


ЛФЧХ – это ФЧХ в логарифмическом масштабе только по оси абсцисс.

Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ на одном графике:

Рис. 5.2 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Условие устойчивости не выполняется, следовательно, замкнутая система неустойчива.

Определим запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
Запас устойчивости по амплитуде показывает, во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, насколько в процессе работы может возрастать коэффициент передачи системы по сравнению с расчетным.
Запас устойчивости по амплитуде определяется как разница между 0 и значением ЛФЧХ на критической частоте (частоте, на которой ЛФЧХ принимает значение -180º).
Запас устойчивости по фазе определяется как разница между значением ЛФЧХ на частоте среза ЛАЧХ (частоте, которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) и величиной 180º.

(XIV)

Запасы устойчивости отрицательные, следовательно, замкнутая система неустойчива.






















Выводы


Для заданной системы рассчитаны эквивалентные ПФ разомкнутой и замкнутой системы.
С помощью различных критериев произведена оценка устойчивости замкнутой системы. Все критерии дали одинаковую оценку – неустойчива, что свидетельствует о правильности расчётов.























Литература



[1] http://edu.alnam.ru/book_b_tau.php?id=55
[2] Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГТУ, 1993. – 492 с., ил.
[3] Леонов Р. Е. Решение типовых линейных задач в системе МАТЛАБ: учебное пособие / Р. Е. Леонов. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2012. 168 с.
[4] Лукас Л. А., Барановский В. П. Теория автоматического управления. Часть 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества линейных непрерывных систем управления: курс лекций / В. А. Лукас, В. П. Барановский. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2007. 226 с.
[5] Лукас В. А., Барановский В. П. Основы теории автоматического управления: учебное пособие / В. А. Лукас, В. П. Барановский. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2007. 190 с.






















20 - 20 -