Параметрический резонанс

Допустим, данная функция периодическая с некой частотой и ее период T=2. Это говорит нам о том, что, откуда следует, что все уравнение (40) инвариантно по отношению к преобразованию . Следовательно, если x(t)это решение уравнения, то и функция также есть решение уравнения. То есть, если x1(t) и x2(t) независимые интегралы уравнения (40), то при заменеt на t+T() x1(t) и x2(t)преобразовываются линейным образом друг через друга. Аx1и x2 можно выбрать так, чтобы их изменения при замене сводилось к умножению на постоянный множитель.(41)Наиболее общий вид такой функции, которая обладает таким свойством, представлен далее (42):(42)В формуле (42) и это периодические функции времени с периодом T. Постоянные и в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. В самом деле, если умножим уравнения на и соответственно и вычтемиз нихпочленно одно из другого, то получим (43):,или(43)При любых значениях функция и вида (42) левая частьуказанного равенства умножается на при . Следовательно, чтобы соблюсти равенство (43) требуется чтобы . Дальнейшийвывод о постоянных и делается исходя из факта вещественного коэффициента (40). Если x(t)является каким-либо интеграломтакого уравнения, то комплексно-сопряженная функция x*(t)тоже должна удовлетворять этому уравнению. Это означает, что либо пара , либо μ1* μ2* должны быть вещественны. В первом случае имеем , а постоянные и равны единице по модулю. Во втором случае имеем выражение (44) с отличным от единицы или отрицательным числом μ:.(44)Со временем одна из этих функций возрастает экспоненциально. Следовательно, будет неустойчивым состояние покоя системы в положении равновесия, при котором x=0. Достаточно очень слабого отклонения от данного состояния, чтобы xначало стремительно возрастать со временем. Данное явление называется параметрический резонанс.[13]Явление параметрического резонанса происходит при частотах изменения параметра системы, приближенных к значениям , где n любое целое число. Впрочем, ширина неустойчивых областей быстро уменьшается с увеличениемn. Также значительно уменьшаются показатели усиления колебаний. Параметрический резонанс существует и при наличии слабого трения в системе, но при этом несколько сужается область неустойчивости.1.4.1Параметрический резонанс в механических системах с распределенными параметрамиПараметрический резонанс, резюмируя все вышесказанное,это такое возбуждение колебаний, которое наступает системе из-за периодических изменений величинынекоторогоэнергоемкого параметра системы (т. е. параметров, от которых значительно зависят потенциальная и кинетическая энергии, а также периоды собственных колебаний системы). Появление параметрического резонансавозможно в любой колебательной системе (механической, электрической и т.д.), например при периодическом изменении длины математического маятника.В случаях, когда отношение угловой частоты одного из собственных колебаний системы к угловой частоте изменений параметра (/) близко к n/2, где n натуральное число, в системе может наступить возбуждение колебаний с частотой, приближенной к и точно равной /2, , или/2 и т.д., наступает параметрический резонанс.При соотношении / = ½ параметрический резонанс возникает легче, а колебания наиболее интенсивны. [14]В качестве примера резонанса в механической системе, с распределенными параметрами, приведем колебания струны. Струна, прикреплена одним концом к ножке камертона, при периодическом изменении натяжения струны, в ней возникает возбуждение интенсивных поперечных колебаний. Резонанс в данном примере возникает легче, когда любой период собственных колебаний струны (основного тона, какой-то из гармоник) приближенно в два раза больше периода колебаний камертона. Если период собственных колебаний струны равен периоду колебаний камертона, то резонанс будет наступать всякий раз, когда период камертона будет совпадать с периодом какого-либо собственного колебания струны.Итак, учитывая вышесказанное, параметрический резонанс в данном отношении сходен с силовым резонансом, возникающим при возбуждении вынужденных колебаний.Параметрический и силовой резонансыразличаются формой резонансной кривой – в случае возникновения параметрического возбуждения резонанс отмечается в строго ограниченной полосе частот (определяется значением n и амплитудой изменения параметров), а при силовом воздействии на систему добиться колебаний можно на любой частоте.Рисунок 1.5 – Параметрическое возбуждение колебаний струны.[14]Параметрический осцилляторОсциллятор, чьи параметры могут меняться в определённой области, называется параметрическим осциллятором. Данный осцилляторотносится к незамкнутым колебательным системам, в которыхвнешнее воздействие на систему сводится к изменению параметров этой системы во времени. При изменении какого-либо из параметров (собственной частоты колебаний , коэффициента затуханий) изменяется динамика всей системы.Самым простым примером параметрического осциллятораявляется человек, который качается на качелях и при этом совершает приседания. В процессе раскачивания высота центра массы, периодически изменяется,что является периодическим изменением момента инерции, в следствии которого увеличивается амплитуда колебаний качелей. (Гораздо чаще при раскачивании на качелях, качающийся отклоняется синхронно с качелями, следовательно, в системе не возникает параметрический резонанс).В качестве примера механического параметрического осциллятора является физический маятник (точка подвеса которого совершает некоезаданное периодическое движение в вертикальном направлении). Также примером служит и математический маятник (во время движения математического маятника длина его нити периодически изменяется).[15]На практике часто используемым примером параметрического осциллятора является параметрический генератор, применяющийся во многих областях.Параметрический генератор или параметрон реализуется с помощью одноконтурной параметрической цепи. Если в соответствующих зонах неустойчивости m>mkp1, то в системе вероятно возбудятся нарастающие колебания. Процесс описанный выше носит название параметрического возбуждения колебаний. При возрастании амплитуды колебаний, варикап (диод) перестает являться параметрическим элементом. С ростом амплитуды проявляются нелинейные свойства варикапа, за счет которых нарастание амплитуды колебаний ограничивается. При этом автогенератор выходит на свою стационарную амплитуду. Схема параметрона представлена на рисунке 2.1, данная схема балансная и одноконтурная.За счет смещения напряжения Есм варикапы находятся в закрытом состоянии. На варикапы в закрытом состоянии подается ток накачки. Если подключиться точно в середине выходной катушки индуктивности, то магнитные потоки накачки в катушке компенсируются встречным направлением включения варикапов. Следствием чего является отсутствие накачки на выходе колебаний генератора.При n=1, а частота резонанса будет исчисляться по формуле (45), где – емкость варикапа в состоянии покоя:.(45)В одно время с накачкой подается и сигнал, пока сигнал мал, он усиливается. Как только сигнал попадает в нелинейную область вольт-кулоновской характеристики варикапа усиление ограничивается.В параметроне есть два устойчивых состояния колебания: и. Первое состояние есть логическая единица, а соответствует логическому нулю, отсюда следует, что параметрон может использоваться в качестве элемента памяти. Данное свойство параметрического генератора первым предложил японский ученый Гото Кадзусигэ.[16]Параметрические генераторы разрабатывалиськак малошумные усилители, они особенно эффективны в радиоволновом и микроволновом частотном диапазоне. Из-за периодического изменения реактивных сопротивлений, в таких генераторах минимальны тепловые шумы. В СВЧ-электронике, волновод/ИАГ, который работаетна основе параметрического осциллятора действует аналогично. Для того возбуждения в системе параметрических колебаний, меняют параметр системы с какой-либо периодичностью. Так же часто используют метод параметрических колебаний в частотных преобразователях. В качестве примера возьмем оптический параметрический генератор, он преобразует входную волну лазера в две выходные, но более низкой частоты (s, i). Заметим, что понятие параметрического резонанса имеет связь с параметрическим осциллятором.Рисунок 2.1 – Схема параметрона [16]ЗаключениеВ данной работе мною был рассмотрен раздел параметрических колебаний – раздел физики колебаний, который мало рассматривается в курсах общей и теоретической физики, что сделало данную работу актуальной, изучалась теория параметрических колебаний, а также теория параметрического резонанса.Мною были приобретены знаний по теме параметрический резонанс, был проведен анализ научной литературы по темам механика и колебательные процессы, отдельно рассмотрен параметрический резонанс, также были рассмотрены варианты параметрического возбуждения, такие как: колебания около положения равновесия, колебания около стационарного режима движения, по периодическому кусочно-постоянному закону (при отсутствии трения) и по закону синуса.Список литературы1.Павленко Ю. Г., Лекции по теоретической механике.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.- 392 с.2.Пановко Я. Г., Введение в теорию механических колебаний.- С.-Петербург, 19893.Н. В. Бутенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Маркина, Курс теоретической механики.- Наука4.Бабаков И. М. Теория колебаний.- 2-е изд.- М.: Наука, 1965.5.Бидерман В. Л. Теория механических колебаний.- М.: Высшая школа, 1980.6.Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.- М.: Гостехиздат, 1956.7.Шмидт Г. Параметрические колебания.- М.: Мир, 1978.8.Л.Д.ЛандаоЕ.М.Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб.пособие. – В 10-ти т. Т. I. Механика. – 4 изд., испр. – М.: Наука. 1988. – 216с.9.Электронный ресурс. Энциклопедия по машиностроениюXXL. Параметрические колебания.URL:https://mash-xxl.info/page/154135011161122177128200220094015184097156067042/(дата обращения 10.06.2023)10.Электронный ресурс. Параметрическое возбуждение колебаний. URL:https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/086/898.htm(дата обращения 11.06.2023)11.Электронный ресурс. Энциклопедия по машиностроениюXXLПараметрическое возбуждение по периодическому кусочно-постоянному закону URL:https://mashxxl.info/page/177245198170161230205204250163212035152255136093/(дата обращения 10.06.2023)12.Электронный ресурс. Энциклопедия по машиностроению XXL. URL:https://mash-xxl.info/info/734874/(дата обращения 10.06.2023)13.Электронный ресурс. Параметрический резонанс. URL:https://scask.ru/c_book_t_phis1.php?id=28(дата обращения 10.06.2023)14.Электронный ресурс. Параметрические колебания. Параметрический резонанс.URL:https://studfile.net/preview/1871508/page:15/(дата обращения 10.06.2023)15.Электронный ресурс. Параметрический осциллятор. URL:https://ru.zahn-info-portal.de/wiki/Parametric_oscillator#Parametric_amplifiers(дата обращения 09.06.2023)16.Электронный ресурс. Параметрический генератор (параметрон). URL:https://studfile.net/preview/1905294/page:16/(дата обращения 18.06.2023)