Управление углом наклона траектории тяжелого транспортного самолета

АЧХ показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка пропускания производится по отношению амплитуд. АЧХ имеет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах.Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ). Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω) представляет собой функцию комплексного переменного jω, модуль которой равен A(ω), а аргумент равен φ(ω). Каждому фиксированному значению частоты ωi соответствует комплексное число W(jωi), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(ωi) и угол поворота φ(ωi). Отрицательные значения φ(ω), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.Рисунок 7 – Частотные характеристикиПри изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jω) будет поворачиваться вокруг начала координат, одновременно будет увеличиваться или уменьшаться длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.Проекции вектора W(jω) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной частотной характеристикой и мнимой частотной характеристикой. Обозначают их так: . Отметим, что действительная частотная характеристика P(ω) – всегда четная функция частоты, а мнимая Q(ω) – всегда нечетная функция.Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции – путем подстановки p=jωпоэтому АФЧХ иногда называют частотной передаточной функцией.АФХ W(jω), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной формеили алгебраическойСвязь между различными частотными функциями следующая:Рисунок 8 – АЧХ и ФЧХ непрерывной системыРисунок 9 – АФХ непрерывной системыРисунок 10 – АЧХ и ФЧХ дискретной системыРисунок 11 – АФХ дискретной системыИсследование устойчивостиХарактеристические полиномы для рассматриваемой системы в непрерывной и дискретной формах имеют вид:Корневой критерийКлючевой критерий устойчивости, который выводится из формулы решения уравнения модели в пространстве состояний:Видно, что чтобы решение стремилось к установившемуся значению, показатель степени экспоненты должен быть отрицательным. Таким образом, объект асимптотически устойчив, если корни характеристического уравнения удовлетворяют следующему условию:.Корни характеристического уравнения непрерывной системы:Критерий устойчивости выполняется, так как действительная часть корней меньше нуля.Для асимптотической устойчивости дискретной системы необходимо, чтобы корни характеристического уравнения удовлетворяли условию:Корни характеристического уравнения дискретной системы:Критерий устойчивости для дискретной системы выполняется.Критерий ЛяпуноваИспользование критерий Ляпунова для анализа устойчивости линейных систем связано с решением матричного алгебраического уравнения Ляпунова:где матрица A – матрица параметров ОУ, Q – произвольная матрица, удовлетворяющая условию Q=QT>0.Объект управления асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда матрица P, являющаяся решением уравнения, будет положительно определенной: P>0.Решение уравнения Ляпунова имеет вид:P = 502.3852 -111.9283 336.3899 -42.2067 -132.1435 -111.9283 25.7614 -75.5391 9.3896 29.6208 336.3899 -75.5391 228.5148 -28.2264 -87.3245 -42.2067 9.3896 -28.2264 3.9590 10.8531 -132.1435 29.6208 -87.3245 10.8531 35.7445Критерий не выполняется.Критерий МихайловаИспользование критерия Михайлова для анализа устойчивости связано с построением частотного годографа:, для непрерывных систем.Для устойчивости непрерывной модели необходимо и достаточно, чтобы годограф начинался на вещественной положительной полуоси и поворот изображающей точки в положительном направлении вокруг начала координат был равен .Характеристическое уравнение:Заменим :Мнимая и действительная части:Рисунок 11 – Годограф Михайлова для непрерывной системыНепрерывная система является устойчивой.Критерий Михайлова для анализа устойчивости связано с построением частотного годографа:, для дискретных систем.Для устойчивости дискретной модели системы необходимо и достаточно, чтобы годограф начинался на вещественной положительной части оси, а поворот изображающей точки в положительном направлении вокруг начала координат при возрастании частот от 0 до был равен .Характеристическое уравнение дискретной системы:Выполним замену Для разложения экспоненты применим формулу Эйлера:Выделим действительную и мнимую части:Рисунок 13 – Годограф Михайлова для дискретной системыДискретная система является устойчивой.ЗаключениеВ рамках расчетно-графической работы были получены практические навыки работы с математическими моделями в ТАУ, была исследована модель с перевернутым маятником с разных сторон с точки зрения ТАУ, научились пользоваться программными средствами для решения задач ТАУ.