Пределы функций с несколькими переменными

Например, если – предельная точка множества 𝐷, то базу в 𝐷 образует совокупность подмножеств множества 𝐷, содержащихся в проколотых окрестностях , где 𝜀 – положительные числа. В этом случае для любых 𝐴𝛼 и 𝐴𝛽 существует элемент базы.Ещё одну базу в 𝐷 образует совокупность подмножеств множества 𝐷, содержащихся в произвольных открытых кругах, которым принадлежит точка , из которых сама точка исключена, т.е. это проколотые круги. Но теперь пересечение не каждой пары элементов базы ей принадлежит. Фактически это база проколотых окрестностей точки по некоторому множеству E. Пусть функция задана на множестве и 𝒜 – база в𝐷. Число 𝑎 называют пределом функциипо базе 𝒜, если для каждого 𝜀 > 0 существует элемент базы 𝐴𝜀 такой, что для всех справедлива оценка . Определение предела по базе в логической символике: (11)Таким образом, предел функции по множеству 𝐷 в точке , являющейся предельной точкой 𝐷, соответствует случаю, когда в качестве базы взяты подмножества множества 𝐷, содержащиеся в проколотых окрестностях . Для предела функции при по неограниченному множеству 𝐷 в качестве базы берутся подмножества 𝐷, содержащиеся вне замкнутых кругов произвольного положительного радиуса.Для существования предела функциипо базе 𝒜необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся элемент базы 𝒜, образ которого содержится в некотором интервале длины.Определение предела функции двух переменных по Коши в точке и при , укладывается в введенное общее определение предела функции двух переменных по базе.Аппроксимативный пределТак как мы рассматриваем множества на R2, а R2–измеримо по Лебегу, то можно ввести определение точки плотности множества.Пусть имеем множество и точку , принадлежащую X. Рассмотрим окрестность точки. Плотностью множества в точке называется предел (12)если этот предел существует. Здесь обозначает меру Лебега множества X. Для – это площадь.Точка называется точкой плотности для X, если . Теорема 5 (Теорема Лебега о точках плотности). Почти все точки измеримого по Лебегу множества являются точками плотности. В дальнейшем без ограничения общности мы будем считать, что X – множество конечной меры.Пусть дана функция – измеримая функция, определенная на множестве D.Число называется аппроксимативным пределом функциив точке , если для любого числа точка является точкой плотности множества Аппроксимативный предел обозначается так же, как и обычный предел:(13)Пусть мы имеем два измеримых множества и и выполняется условие .Тогда, если (14)то – точка плотности множества Xотносительно множества . Будем называть такую точку точкой –плотности множества XЧисло называют аппроксимативным пределом по множеству функции в точке , если для любого числа точка является точкой –плотности множества Будем обозначать такой пределкак(15)Определение аппроксимативного предела, данное выше, является частным случаем аппроксимативным пределом по множеству при .Если существует обычный предел функциидвух переменных, то существует и аппроксимативный предел, и оба они совпадают.Существование предела функции двух переменных в точке , гарантирует, что для любого положительного найдётся такое >0, что для всех точек, попавших в , выполняется , где a– значение предела функции в точке.Существование предела в точке говорит о том, что как бы мы не подходили к точке , любое приближение приведет к значению предела a. То есть в окрестность точки попадают все точки пересечения множества X и окрестности точки, а это означает, что предел отношения площади пересечения и площади окрестности равен 1, то есть точка – точка плотности множества X.Существование аппроксимативного предела не гарантирует существование обычного предела функции двух переменных.Пример 8. Рассмотрим функцию , заданнуюследующим образом:Рассмотрим множество D – полуплоскость y<1 и точку M0(0,1).Рассмотрим аппроксимативный пределфункции в точке M0 по множеству D:Действительно, при MM0имеем Однако для этой функции не существует, поскольку точка (0,1) принадлежит границе круга, на которой функция имеет значение 0.Таким образом, если обычный предел функции двух переменных в точке существует, то существуют и пределы по направлению, по множеству, по базе и аппроксимативный предел в этой точке и совпадают между собой и с обычным пределом в точке. Обратное не обязательно.ЗаключениеВ данной работе мы рассмотрели понятии функции двух переменных, а также понятие предела функции двух переменных в точке.В работе приведены понятие предела функции двух переменных в точке по Коши, по Гейне, а также сформулированы следующие понятия:понятие предела по направлениюпонятие предела по множествупонятие предела по базе (фильтру)понятие аппроксимативного пределаСуществование обычного предела функции двух переменных влечет за собой существование предела функции по направлению, по множеству, по базе и аппроксимативного предела. В общем случае существование предела по какому-либо направлению (и даже по всем) не обязательно приводит к существованию обычного предела функции двух переменных. Аналогичный вывод сделан и в отношении предела по множеству, предела по базе и аппроксимативного предела.В работе приведены примеры, подтверждающие этот вывод.Список используемых источниковБутузов В. Ф.Лекции по математическому анализу. Часть II.Учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2014.– 200 c.Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975. – 395 с.Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. Издательство МЦНМО Москва, 2019. – 564 с.Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс/В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Под ред. А.Н. Тихонова. – 2-е изд., перераб. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 662 с.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа в 3 т. Том 2: учебник для бакалавров/Л. Д. Кудрявцев.–М.: Издательство Дрофа, 2004. – 720 с.Лисин Б.В. Пределы.Непрерывность функции(Электронное методическое пособие). Нижний Новгород, 2011. [Электронный ресурс] – Режим доступа: URL: http://www.unn.ru/pages/e-library/methodmaterial/2010/52.pdfТеляковский С.А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр I, Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН)– М.: МИАН, 2009,Вып. 11. –210 с.Теляковский С. А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр II, Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2011. Вып. 17: – 192 с.