на тему: «Методика внеурочного изучения основ дискретной математики»

Образовательное учреждение вправе использовать дистанционныеобразовательные технологии не только при реализации образовательныхпрограмм любого уровня, но и при всех формах получения образования илипри их сочетании, а также при проведении различных видов учебных,лабораторных и практических занятий, текущего контроля, промежуточнойаттестации обучающихся (п. 4 Порядка использования дистанционныхобразовательных технологий, утв. Приказом Минобрнауки РФ от 6 мая 2005г. № 137).Требования к организации дистанционного обучения основываются на санитарных правилах и нормах:1) Рекомендуемая непрерывная длительность работы, связанная сфиксацией взора на экране монитора не должна превышать:для детей 6-10 лет- 15 мин;для детей 10-13 лет – 20 мин;старше 13 лет – 25-30 мин (на 2-м часу работы не более 20 мин).2) Оптимальное количество занятий в течение дня:для детей 6-10 лет– 1 занятие;для детей 10-13 лет – 2 занятия;старше 13 лет – 3 занятия.Для предупреждения развития переутомления обязательнымимероприятиями являются:проведение упражнений для глаз через каждые 20 — 25 мин. работы;устройство перерывов после каждого занятия длительностью не менее 15 мин.;проведение во время перерывов сквозного проветривания помещения с ВДТ илиПЭВМ при отсутствии детей;проведение упражнений физкультминутки в течение 1 — 2 мин. для снятияутомления, которые выполняются индивидуально при появлении начальныхпризнаков усталости;выполнение профилактической гимнастики.Занятие с компьютерами независимо от возраста детей должны проводитьсяв присутствии педагога.Таким образом, для обучающихся старших классов продолжительность одного дистанционного занятия не должна превышать 25-30 минут, что важно учитывать при разработке дистанционных курсов.Говоря о математике, нужно отметить, что дистанционные курсы могут быть разработаны для:1) Обучения математике в рамках базового школьного уровня.Подобные курсы служат для решения широкого спектра задач, таких, как повторение ранее изученных тем, закрепление пройденного материала, углубление изученной темы, в случае недостатка академических часов, также подобные курсы способны дать шанс освоить школьные темы учащимся, которые не могут посещать школу. Учащийся может восполнить пробел по одной или двум темам, а, при необходимости, и по темам, изученным за полгода или даже за год.2) Углубленного изучения математики.Данная направленность рассчитана на тех, кто хорошо овладел базовыми знаниями по математике и готов расширить круг своих знаний за счёт более глубокого и детального анализа задач из школьного курса, а также освоения тем, выходящих за рамки общеобразовательного минимума. Также к этой группе можно отнести курсы, являющиеся связующим звеном между школьным курсом и курсом высшей математики в высшем учебном заведении.3) Обобщения и систематизации знаний, полученных в рамках школьного курса.Систематизация знаний является одним из ключевых моментов в образовании учащихся. Именно обобщение знаний позволяет развить компетенции в разных областях. За счёт применения новых знаний в только что изученном материале у учащихся возникает необходимость подключить уже имеющиеся навыки, а также вложить их в общую концепцию уже имеющегося багажа знаний, что, безусловно, весьма положительно влияет на общее восприятие предмета, а также помогает учащемуся систематизировать накопленный багаж знаний.Говоря о специфике математики как дисциплины школьного образования, полностью, частично или элективно реализуемой в системе дистанционного обучения, следует отметить, что большое внимание следует уделять решению практических задач.Согласно федеральному государственному образовательному стандарту одним из требований к результатам освоения образовательной программы является приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач. Осуществление поставленного требования невозможно без подробного и глубокого анализа методов решения задач, которому сопутствует разнообразная практическая деятельность учащихся, как самостоятельно, так и совместно с учителем.Ещё одной специфической особенностью математики как дисциплины школьного образования является последовательность и непрерывность построения курса. Так, каждая новая тема опирается на знания, полученные на предыдущих занятиях. В связи с этим возникает необходимость построения курса, таким образом, чтобы было возможно, при необходимости, «вернуться» назад и заполнить «проблемы» по изучаемой теме.Следующая особенность математики – формальность математического языка. Система обозначений в математике складывалась столетиями и в настоящее время имеет практически окончательно сформировавшийся вид. В связи с этим у обучающихся математике возникает необходимость познакомиться с данным языком и освоить его. Не обладая умением читать математические символы, учащийся не сможет освоить ни одной темы, поэтому большую роль в обучении математике играет освоение математического языка.Ещё одной особенностью математики является высокий уровень абстракции. Существуют различные типы абстракции. В математике рассматриваются наиболее обобщённые свойства и объекты, потому математика столь трудна в усвоении школьниками. Эта особенность накладывает свою специфику на отбор содержания и методы представления информации.Все эти факторы должны быть учтены при выборе или проектировании внеурочного дистанционного курса, а также при выборе форм его реализации.2.3 Конспект урока-консультации и методические рекомендации Предлагаемый нами элективный дистанционный курс находится на платформе по адресу https://stepik.org/course/83/promo#toc.Элективный курс называется «Введение и знакомство с базовыми понятиями дискретной математики» и состоит из 12 уроков: ПриветствиеМножества, отображенияСуммы и произведения с параметромЦелые частиПринцип ДирихлеИндукцияОсновные дискретные объекты комбинаторикиЗадачи на подсчётБиномиальные коэффициентыФормула включений-исключенийРекуррентные соотношения и метод выделенного элементаПовторение материала первого модуляНиже мы представим план-конспект пятого урока элективного курса под названием «Принцип Дирихле».Цель урока – сформировать у обучающихся понятие о простом, интуитивно понятном методе доказательства утверждений о конечном множестве; научить применять этот принцип на практике. План урока прост, занятие состоит из трех частей: вводной, основной и заключительной.В вводной части представлен пример, который позволяет погрузить обучающихся в изучаемую тему. В основной части изложен математический материал – различные примеры, задачи, логические вопросы. Третья часть занятия – рефлексия, обучающие получают возможность закрепить материал, выполнить контрольные задания.Представим фактический материал урока.I. Вводная часть.В качестве введения в наш курс, вникните в ситуацию и далее ответьте на вопрос.Чтобы переговариваться по рации, двое шпионов должны находиться на расстоянии не более х километров. Шесть шпионов десантируются на парашютах на длинную прямую дорогу, длина которой пятьдесят километров. Каким минимально возможным может быть х, чтобы гарантированно хотя бы двое из этих шести шпионов могли наладить друг с другом контакт по рации? (Эту пару шпионов мы заранее не фиксируем.)Решение:Учитывая, что у нас есть ограниченная длина прямой в 50 километров, то самым «невыгодным» вариантом расположения шпионов будет их расположение на равном расстоянии друг от друга. Так как если расстояние между любыми двумя увеличить, то расстояния от выбранных нами до соседних уменьшится. Так же, в самом «невыгодном» случае шпионы должны занять всю прямую. Таким образом расстояние между каждыми шпионами будет по 10 метров.Ответ:10 метровII. Основная часть.Задание 1.Задание 2. Укажите верную переформулировку принципа Дирихле.Решение:Вторая формулировка принципа Дирихле звучит так: «Если задана функция  f  из A в B, и при этом ∣A∣>∣B∣ , то найдутся x, y ∈A, такие,  что x ≠ y и f(x) = f(y)». Определение инъекции: «функция gназывается инъекцией, если найдутся x, y ∈A, такие,  что x = y и g(x) = g(y)»Как легко заметить функция fиз формулировки принципа Дирихле не является инъекцией.Ответ: «… , то не существует инъекции …»Задание 3.В городе Былинном проживает 1900 красных девиц, родившихся в одном и том женезапамятном году. Дракон Злыныч потребовал привести ему на съедениенескольких девиц, родившихся в незапамятном году, причём обязательно в одиндень (ему не важно, в какой именно). Условие Злыныча таково: если окажется, чтогорожане могли привести больше девиц (возможно, совсем других, но лишь быродившихся в один день), Злыныч съедает вообще всех! На сколько девиц, какминимум, может рассчитывать Злыныч? Ответ дайте в виде единственного целогочисла.Решение:Из условия задачи следует, что горожане должны привести дракону наибольшее количество девиц, родившихся в один день из выбранного года. То есть нужно выбрать день, в который родились наибольшее количество девиц. Можно рассмотреть ситуацию, когда все 1900 девиц родились в один день, и тогда всех их нужно отдать, и это будет максимум, на что может рассчитывать дракон. При этом минимум будет при равномерном распределении дней рождений на каждый день в году. Именно эта ситуация нам и нужна. В среднем каждый день рождалось девиц, так как всего девиц 1900, а дней в году 365, если взять 366 дней, то ответ измениться незначительно. Из формулировки принципа Дирихле следует, что найдутся дни, когда рождалось 5 человек и 6 человек. Выбираем наибольшее из возможных, то есть 6.Ответ:6 Задание 4. В корзине 10 красных шаров, 20 синих и 30 оранжевых. Какое минимальное количество шаров нужно (не глядя) вытащить из корзины, чтобы среди вытащенных гарантированно оказались шары всех трёх цветов?Решение:Фразу «гарантированно оказались» надо толковать, как «окажутся в самом худшем варианте», то есть когда нам очень не везет, и мы вытаскиваем совершенно не то, что нам нужно. В этом случае 3 шара разного цвета мы гарантированно достанем, если сначала вытащим все 30 оранжевых шаров (самый плохой вариант первого цвета), потом все 20 синих шаров (самый плохой вариант второго цвета), и наконец, 1 красный шар. И того, 51 шар.Ответ: 51Задание 5В корзине 10 красных шаров, 20 синих и 30 оранжевых. Какое минимальное количество шаров нужно (не глядя) вытащить из корзины, чтобы среди вытащенных шаров хотя бы два оказались одного и того же цвета?Решение:Как и в предыдущей задаче, рассматриваем самый худший вариант, но тут уже нам попадаются разные шары, чтоб мы дольше всего вытягивали одинаковый. Первые три шара мы вытаскиваем разных цветов, и четвертый гарантированно совпадет по цвету с одним из уже выбранных.Ответ:4Задание 6.В корзине 10 красных шаров, 20 синих и 30 оранжевых. Какое минимальное количество шаров нужно (не глядя) вытащить из корзины, чтобы среди вытащенных гарантированно оказались два шара разных цветов?Решение:Нам уже в третий раз максимально не будет везти, и поэтому сначала мы вытаскиваем шары одного цвета, это 30 оранжевых. И как только они будут извлечены из корзины, то следующий шар точно не будет оранжевым. Значит 31 шара достаточно.Ответ: 31Задание 7. На Земле 6 миллиардов жителей. Людей старше 150 лет не существует. Докажите,что найдутся двое людей, родившихся одновременно с точностью до секунды.В решении обязательно укажите строгую математическую формулировку принципаДирихле (одну из рассмотренных в данном уроке), которой Вы пользовались, и какименно Вы её применили в данной частной ситуации.Решение:Ответ: что и требовалось доказать.Задание 8Покажите, что на любом собрании найдутся двое, у которых одинаковое числознакомых среди присутствующих. (Предполагается, что в данном случаезнакомство — понятие взаимное.)В решении обязательно укажите строгую математическую формулировку принципаДирихле (одну из рассмотренных в данном уроке), которой Вы пользовались, и какименно Вы её применили в данной частной ситуации.Решение:Ответ: что и требовалось доказать.III. Рефлексия1. В чем заключается принцип Дирихле?2. Придумайте три свои задания на данный принцип и предложите решить одноклассникам. Обменяйтесь заданиями и обсудите итоги.3. Закрепите изученный материал дома, решите следующие задания:3.1 Докажите, что среди любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых четна.3.2. В некотором классе учится 30 не очень грамотных учеников. Во время диктанта один ученик сделал 14 ошибок, но зато остальные меньше. Докажите, что в классе имеются по крайней мере три ученика, сделавшие в диктанте одинаковое количество ошибок.3.3. В клетках шахматной доски 8 х 8 записаны числа 1, 2, 3, ..., 62, 63, 64. Докажите, что найдутся две такие соседние клетки, что числа, записанные в них, отличаются не меньше, чем на 9. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону или вершину).3.4. На далекой планете Зям-лям, имеющей форму шара, суша занимает более половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть прямой туннель, проходящий через центр планеты и соединяющий сушу с сушей.3.5. В ковре размером 4×4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1×1, не содержащий внутри дырок?3.6. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать круг радиуса 12,5 см, в котором нет ни одной дырки.3.7.Какое самое большое количествоа) ладей б) ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?Решенные задания оформите в документе wordи загрузите в систему.Спасибо за урок!Методические рекомендации для учителей по организации урока-консультации по теме: «Принцип Дирихле» или сопровождения онлайн-урока.Итак, урок по математике, посвященный принципу Дирихле, представляет собой сложное и интересное занятие для учащихся. Этот принцип является основополагающим в различных областях математики, включая комбинаторику и теорию вероятности. Он позволяет решать задачи на расстановку объектов с определенными ограничениями.1. Подготовка к сопровождению онлайн-урока.Перед реализацией урока необходимо подготовить все необходимые материалы и ресурсы, убедиться, что в классе налажено интернет-соединение, у детей есть канцелярские принадлежности для фиксации важных моментов и рещения задач. 2. Введение в тему.Урок необходимо начинать с краткого объяснения основных понятий и определений связанных с принципом Дирихле. Объяснить, что этот принцип позволяет найти решение задач на расстановку объектов с определенными ограничениями.3. Подготовка примеров и иллюстраций.Для лучшего понимания принципа Дирихле необходимо предоставить обучающимся достаточное количество примеров и иллюстраций. Показать им, как данный принцип может быть использован для решения различных задач, в том числе бытовых.Например, можно предложить следующую задачу: «В классе 30 учеников. Каждый из них выбирает одного друга для работы в паре. Докажите, что найдутся как минимум двое учеников, которые выбрали друг друа».Следует предоставить графическую интерпретацию данной задачи и объяснить шаги решения с помощью принципа Дирихле.4. Возможность организации работы в группах.После того как обучающиеся ознакомятся с основами принципа Дирихле, можно предложить им выполнить несколько задач в группах по двое-трое человек. Это поможет детям более глубоко освоить материал и обсудить различные подходы к решению задач.Учителю необходимо обратить внимание на то, чтобы каждая группа получила достаточное количество задач различной сложности. Это поможет ученикам применить принцип Дирихле в разных контекстах и ситуациях.5. Обсуждение результатов.После выполнения задач в группах можно предложить каждой группе представить свое решение на общем уроке. Учитель с обучающимися обсуждают различные подходы к решению задач, позволяет ученикам делиться своими мыслями и стратегиями.Педагог старается активно включать всех учащихся в обсуждение, поощряет учеников к выражению своего мнения и аргументированным ответам.6. Проведение практических занятийДля закрепления полученных знаний можно предложить ученикам выполнить некоторые практические задания или проекты, которые требуют применения принципа Дирихле.Например, можно предложить создать расписание для класса с определенными ограничениями (например, каждый ученик должен быть в одной группе с каждым другом хотя бы один раз).7. ЗаключениеНа заключительном этапе урока подводятся итоги и обсуждение с учениками, какие навыки и знания они получили благодаря изучению принципа Дирихле. Слоедует подчеркнуть важность этого принципа в различных областях математики и еще раз обозначить возможности его применения в реальной жизни.ЗАКЛЮЧЕНИЕТрадиционное понимание математики в старших классах – это тригонометрическиеуравнения, логарифмы, производные и первообразные– приводит во многих случаяхк излишней формализации обучения. В сочетании с тем, что участие в математическихолимпиадах в 10-11 классах подразумевает серьёзную предварительную содержательную и психологическую подготовку, а также с необходимостью сдавать ЕГЭ, это приводит к уменьшению интереса и любви к математике в этот период. Поэтому и нужноразбавлять занятия со школьниками в этот период элементами дискретной математики,возвращаться к темам предыдущих классов, обсуждать их применимость к реальнымзаданиям ЕГЭ. Это касается как традиционного теоретического материала (делимость,метод математической индукции), так и общематематических навыков (логический перебор, оценка, конструирование примеров).Однако, школьной программой не предусмотрено изучение основ дискретной математики в системе, лишь некоторые ее элементы, поэтому мы считаем, что в данном случае на помощь может прийти внеурочная деятельность, а именно – организация дистанционного курса «Дискретные структуры».Использование дистанционных технологий в образовании становится все более популярным и необходимым в современном мире. Они предоставляют новые возможности для образования и расширения доступности образования, позволяют учителям и студентам использовать инновационные методы обучения, улучшать качество образования и повышать профессиональный уровень.В качестве практической разработки в данной работе мы представили план-конспект урока по основам дискретной математики «Принцип Дирихле».Дистанционный урок состоит из трех частей: вводной части (описание принципа), основной части (непосредственно решение задач) и рефлексии (ответы на вопросы, закрепляющие материал задания и домашнее задание). Мы полагаем, что изучение основ дискретной математики в старших классов способствует развитию логического решения, упрощает решение нестандартных задач, а, значит, может помочь справится с заданиями ЕГЭ на более высоком уровне. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВБелова, Е. В. (2022). Применение технологий дистанционного обучения в процессе обучения физике. – 54 с.Божович, Л.И. (2001). Личность и её формирование в детском возрасте. М: Просвещение», 300 с.Владимирова, И. В., & Головкина, И. С. (2021). Использование дистанционных технологий в обучении информатике. Научный журнал «Проблемы современной науки и образования», (1), 126-130Голованова С.О. (2023). Плюсы и минусы дистанционного обучения в школе и университете. Современные научные исследования и инновации, (5), 15 - 21 Губанова, Н. А., & Яхин, В. И. (2022). Интеграция технологий в образовательный процесс: преимущества и недостатки. Молодой ученый, (1), 81-84.Гусев, С. А., & Иванова, Е. В. (2020). Использование технологий дистанционного обучения в процессе обучения экономике. Вестник Новосибирского государственного технического университета, (1), 84-88.Дорофеев Г. В. (2008) Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы. 11 класс. М.,161 с.Зайцева, Н. В., & Гаврилова, Н. В. (2022). Педагогические технологии в условиях развития цифровизации образования. Научно-методический электронный журнал «Концепт», 22(1), 110-115.Ибрагимова Р.Р. (2018). Индивидуально-психологические особенности старших подростков. Профессионализм и творчество. Сборник материалов научно-практической конференции, 142-146.Карпова, Ю. В. (2020). Применение интерактивных технологий в обучении математике. Международный научный журнал, (2), 12-16.Клименко, С. В. & Васильева, Л. В. (2021). Интерактивные технологии обучения в современном образовательном процессе. Научный диалог, (2), 171-184.Козлова Н.В.(2020). Дистанционное обучение в начальной школе на платформе УЧИ.РУ. Альманах мировой науки, (6), 60-61.Колмогоров А. Н. (2018). Алгебра и начала математического анализа. Учебно-методический комплект для 10-11 классов. М., 384Колягин Ю. М. (2015) Алгебра и начала математического анализа. Учебно-методический комплект для 10-11 классов. М., 224.Кон, И.С. Социология личности (1967). М.: Политиздат, 383 с.Лемешко Л.В. (2020). Дистанционное обучение в современной школе. Вестник научных конференций, (9-3), 72-73.Минко О.А.(2021)Дистанционный урок как одна из форм обучения в школе. Академическая публицистика, (11-2), 319-326.Мордкович А. Г. & Семёнов П. В. (2018) Алгебра и начала математического анализа. Учебно-методический комплект для 10-11 классов. М., 232 с.Мухина, В. С. (2017). Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. – М.: Академия, 452 с.Немов, Р. С. (2014). Психология: учебник для бакалавров. М.: Издательство Юрайт, 639 с.Никольский С. М. (2021) Алгебра и начала математического анализа. Учебно-методический комплект для 10-11 классов. М., 432Погодина, С.В. & Попов А.А. (2020). Возможности и риски дистанционного обучения в общеобразовательной школе. Профессиональное образование в России и за рубежом, (4), 137-142.Черных Д.Э. (2021). Создание интерактивной платформы для дистанционного обучения в школе. Научный альманах, (9-1), 152-155.Чеснокова, И.И.(1977). Проблема самосознания в психологии. М.: Наука, 144 с.Шабунин М. И. (2023) Алгебра и начала математического анализа. Учебно-методический комплект для 10-11 классов. М., 208Эльконин, Д.Б.(2017). Детская психология: учебное пособие. М.: Академия, 384 с.Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования от 17 декабря 2010 г. № 1897 // Министерство образования и науки Российской Федерации URL: https://fgos.ru (датаобращения: 01.10.2023).Федеральный Закон «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 №273-ФЗ (с изменениями на 4 августа 2023 года) (редакция, действующая с 1 сентября 2023 года) // Официальный интернет-портал правовой информации www.pravo.gov.ru(датаобращения: 01.10.2023).