Развитие математического анализа в XVII- XIX веках

Центральными понятиями анализа явилась текущая величина – флюента, ее флюксия, или скорость изменения (наша производная), и бесконечно малый момент (дифференциал). К алгебраической символике Ньютон добавил знак бесконечно малой величины в виде маленькой буквы «0», который имеется уже в рукописях 1664 т. С самого начала новые понятия несли в себе печать кинематической трактовки. В рукописи «Метода флюксий» Ньютон сформулировал две основные проблемы метода: длина проходимого пути постоянно дана, требуется найти скорость движения в предложение время и скорость движения постоянна дана, требуется найти длину пройденного в предложенное время пути.
Таким образом, первое сочинение Ньютона по анализу содержало принципиально важные элементы нового анализа. В нем содержится и попытка доказать сходимость к истинному значению полученных Ньютоном разложений. Геометрические приложения здесь незначительны. Также Ньютон ввел в математику термин «предел» и впоследствии по праву считался основоположником теории пределов.
В своей программе создания некоей всеобщей науки Лейбниц пошел гораздо дальше, чем Декарт, стремившийся создать универсальную математику. В некотором смысле Лейбниц возрождал идеи испанского философа Люлля (1235-1315 гг.), задумавшего создать машину, автоматически производящую открытия с помощью комбинирования начальных понятий, а также немецкого профессора математики И. Юнга (1587-1657 гг.), предлагавшего построить логическое исчисление по образцу алгебраического и считавшего аристотелеву логику неполной. Лейбниц преследовал цель создания единого алгоритма всех формализованных наук, оперирующего аппаратом математизированной логики. Он представлял себе, что в принципе можно свести все понятия к немногим элементарным, а последним поставить во взаимно-однозначное соответствие их знаки- «характеры», комбинации которых позволят выразить все взаимоотношения вещей с помощью формул и уравнений, преобразование или решение которых заменит рассуждения.
Свою науку мышления он называл то «комбинаторной характеристикой», то «всеобщей характеристикой». С замыслом Лейбница было связано то значение, какое он придавал выбору «характеров» – символов: они должны быть удобны для открытий и облегчения мышления, а для этого адекватно выражать глубинную суть понятий. Этим требованием Лейбниц часто руководствовался, например, при введении индексов при буквах, означающих величины, и, что для нас самое важное, при создании обозначений его системы математического анализа. С концепцией всеобщей характеристики связан был и его интерес к машинной математике.
Сам Лейбниц выделял три пункта своих размышлений:
Метод характеристического треугольника, увиденные им у Паскаля и затем обобщенный;
Алгебраизированную геометрию Декарта и его последователей;
Работы Валлиса и Меркатора о рядах и собственные ранние исследования по суммированию некоторых рядов дробей с помощью порождающих их разностей.
Уже в 1673 г. Лейбниц довольно далеко продвинулся в нескольких направлениях, в частности, занимаясь обратной задачей на касательные, ввел термин «функция», правда, сперва только для обозначения различных отрезков, связанных с кривой и «выполняющих для данной фигуры некоторую функцию», как абсцисса, ордината, подкасательная и т. д.
Решающий шаг в создании дифференциального и интегрального исчисления Лейбниц сделал осенью 1675 г., когда на протяжении двух недель ввел их основные понятия, обозначения и операции. Сперва он обозначает квадратуры в манере Паскаля, затем вводит нововведения, которые приводят к появлению рукописи «Примеры обратного метода касательных», где вводит вполне современные знаки интеграла и дифференциала.
Интеграл, который Лейбниц назвал тогда еще просто суммой, определялся как сумма бесконечного количества бесконечно малых разностей, и это сразу выявило связь между операциями дифференцирования и интегрирования. То был интеграл, как мы бы сказали, с постоянными пределами или с переменным верхним пределом и нижним, равным для простоты нулю.
В последующие годы Лейбниц существенно продвинулся в своих исследованиях, но не обнародовал их: это были новые понятия и символика, меры основы дифференциального исчисления, метод максимумов и минимумов, а также касательных.
Лейбниц знал, что интегрирование функций порождает бесчисленное множество новых трансцендентных. Универсальное средство их исследования Лейбниц видел в бесконечных степенных рядах и методе неопределенных коэффициентов. В апреле 1693 г. он опубликовал статью с широковещательным названием «Дополнение практической геометрии, распространяющееся на трансцендентные проблемы с помощью нового самого общего метода бесконечных рядов», в которой показал на конкретных примерах, как это делается: пишется степенной ряд с неопределенными коэффициентами, которые затем определяются при подстановке ряда в данное дифференциальное уравнение. Попутно он аналитически вывел частное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, столь важного в теории колебаний. В «Математических началах» Ньютона есть задача о прямолинейном движении точки, когда центростремительная сила пропорциональна расстоянию от центра. Аналитически задача выражается дифференциальным уравнением указанного вида. Но Ньютон не пишет уравнения, а ссылается на полученное им синтетическим методом решение задачи об определении закона центростремительной силы, направленной к центру эллипса, по которому обращается тело.
В глазах Лейбница, как и Ньютона, бесконечные степенные ряды являлись средством, сообщающим исчислению бесконечно малых поистине характер универсального метода изучения функций.
Лейбниц принадлежит решение многих других задач прием логарифмического дифференцирования, закладка начал операторного исчисления, формула многократного дифференцирования произведения и идея введения дифферентурах, решение линейного и однородного уравнений путем их сведения к уравнению с разделяющимися переменными и т.д.
Заключение
Математическим анализом называют совокупность наук, общим предметом изучения являются функции переменных величин.
Истоком появления математического анализа были достижение Древнего мира и последующие исследования: в интеграционных задачах встало на первое место суммирование бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых, с помощью различных вспомогательных средств проинтегрированы степенная функции, многие иррациональные и некоторые трансцендентные функции. Понятие квадратуры в известной мере заменяло понятие интеграла. К квадратурам были приведены отдельные задачи, выражаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
В дифференциальных задачах устанавливалось единство процедур их решения, сводящееся к разысканию бесконечно малых разностей величин и пределов их отношений. Фактически применялись некоторые правила, равносильные дифференцированию. Операция предельного перехода была осознана как некое новое действие математики, равноправное с действиями арифметики и затем алгебры. Также первостепенным достижением стало открытие возможности представлять функции с помощью бесконечных степенных рядов.
Все это происходило в условиях отказа от античных критериев строгости и применения еще нечетких понятий инфинитезимальных величин. Все описанные достижения были велики, но все же не составляли регулярного исчисления бесконечно малых, для чего не хватало ни общих понятий, ни общих правил обращения с такими понятиями, ни единой и удобной символики. Основания такого регулярного исчисления, или анализа бесконечно малых, заложили Ньютон и Лейбниц.
Таким образом, отправным пунктом развития математического анализа явилось дифференциальное и интегральное исчисление, разработанное в последней трети XVII и начале XVIII в. И. Ньютоном и независимо Г.В. Лейбницем. В анализе Ньютона и Лейбница содержались истоки и других разделов математики, впоследствии ставших относительно самостоятельными, таких, как исчисление конечных разностей, теория обыкновенных дифференциальных уравнений и пр. В XIX-XX вв. рамки анализа увеличились: даже простое перечисление входящих в него разделов заняло бы не одну страницу.



Список литературы
Акыев, Б.Д. Этапы формирования математического анализа / Б.Д. Акыев, А.К. Еллыев // Вестник науки. – 2023. – Т. 4, № 1(58). – С. 246-249.
Гилимшин, И.И. Рождение математического анализа И. Ньютон против Г. Лейбница / И.И. Гилимшин // Старт в науке: материалы конференции. – URL: https://school-science.ru/16/7/51252
Гырлыева, Г.Т. Развитие математического анализа и его значение в изучении наук / Г.Т. Гырлыева, Б.Б. Иламанов. – Текст: непосредственный // Молодой ученый. – 2023. – № 8 (455). – С. 2-5.
Максимова, О.Д. История математики: учебное пособие для вузов / О.Д. Максимова, Д.М. Смирнов. – 2-е изд., стер. – Москва: Издательство Юрайт, 2023. – 319 с.
Пренов, Р. Математический анализ и его основные понятия / Р. Пренов // Вестник науки. – 2023. – Т. 3, № 2(59). – С. 184-187.
Синкеви, Г.И. Историография математического анализа / Г.И. Синкевич // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: сборник трудов. – СПб.: Издательство СПбГАСУ 2014. – С. 3-22.
Юшкевич, А.П. Из истории возникновения математического анализа / А.П. Юшкевич. – М.: Знание, 1985. – 48 с.










4