Математические задания как средство формирования логического мышления учащихся 5-6 классов

Так как решение в них представлено, то школьники не решают, а повторяют действия решения, при этом обязательно должны выполнить анализ, почему такая ошибка была допущена и как необходимо правильно выполнить действия. Задачи могут быть как выходящие за рамки основного курса основной школы (логические задачи), так и задачами на повторение уже изученных методов решения текстовых задач.Среди задач с ошибками можно выделить:Вася решал задачу «На острове живут рыцари и лжецы. За круглый стол сели 12 жителей острова. Каждый из них сказал, что его соседи – лжецы. Сколько всего лжецов село за стол?». Вася рассудил, что все сидящие за столом лжецами быть не могут, как минимум один из них является рыцарем. Следовательно, его правый сосед является лжецом, т.е. он солгал. Правый сосед лжеца – рыцарь, поскольку лжец солгал и т.д. Таким образом, за столом 6 лжецов и 6 рыцарей. Верны ли рассуждения Васи?Катя решала задачу «Торговец купил товар за 1 рубль, затем продал его за 2 рубля, купил его за 3 рубля, продал его за 4 рубля и т.д. Последний раз он купил товар за 99 рублей и продал за 100 рублей. Сколько заработал купец?». Катя рассудила, что купив товар за 1 рубль, а продав его за 2 рубля купец заработал 1 рубль. Но затем он купил товар за 3 рубля, тем самым потеряв этот рубль выручки и т.д. Таким образом, выручка составила 1 рубль от последней сделки. Верны ли рассуждения Кати?Егор решал задачу «На первом складе в каждом из ящиков было по 3 товара, на втором – по 6 товаров. С первого склада перенести на второй склад 50 ящиков. Среднее количество товаров в ящиках и первого и второго склада снизилось на 1. Сколько всего ящиков было на складе?». Егор рассудил, что на первом складе было х ящиков, на втором – у ящиков. Следовательно, на первом складе 2х товаров, на втором складе – 6у товаров. После того как было перенесено 50 ящиков, число товаров на первом складе стало равно 3х - 50·3, что равно (х-50)·2, поскольку среднее число товаров в ящике снизилось с 3 до 2. На втором складе стало 6у + 150 товаров, что равно (у+50) · 5. Тогда у = 100, а число ящиков х + у = 150. Верно ли рассудил Егор?Задачи с отношениями – это задачи, в которых есть несколько объектов, которые связаны друг с другом отношениями шире (уже, равно), выше (ниже, равно), дороже (дешевле, равно) и т.д. При этом дети должны научиться устанавливать соотношение между разными объектами, т.к. в задаче нет прямого указания об этом соотношении. Отношения могут быть разными. Можно предложить следующие задачи на транзитные отношения:Апельсин тяжелее груши, а яблоко легче груши. Какой фрукт является самым тяжелым?Ствол у ели толще, чем у березы. Ствол березы толще, чем ствол осины. Какое дерево имеет самый толстый ствол?Карандаш стоит больше, чем дневник, а ластик – дешевле, чем карандаш. Что стоит больше всего?Три сестры – Маша, Оля и Катя – обучаются в разных классах Школы №1. Катя старше Маши, Оля моложе Маши. Как зовут младшую, среднюю и старшую сестру?Вика выше Тани, Валя ниже Тани. Назовите имена девочек, которые выше и ниже всех.Отношения могут быть и внетранзитными. К ним можно отнести:Две девочки играют на баяне, а одна – на скрипке. На чем играет Маша, если Ирина и Валя, Валя и Маша не играют на одних и тех же инструментах?В танцевальном трио танцует одна девочка и три мальчика. Имен детей начинаются на буквы «А», «Н» и «К». На буквы «А» и «Н» начинаются имена одного мальчика и девочки. На буквы «Н» и «К» начинаются имена одного из мальчиков и девочки. Какая буква первая в имени девочки?Братья Ваня, Миша и Сережа имеют две машинки синего и одну машинку красного цвета. Каков цвет машинок у каждого из детей, если у Вани и Миши машинки имеют одинаковый цвет, равно как и у Сережи и Вани?Вика, Лера, Оля и Тоня рисовали открытку. Три девочки рисовали цветы, а одна – котенка. Лера и Вика рисовали разные рисунки, Вика и Тоня также изображали разное. Что рисовали девочки?Сестры Катя, Варя, Тина и Лера собирали ягоды. Две сестры собирали смородину, две – малину. Варя и Лера собирали разные ягоды, как и Тоня и Вика. Лера собирала малину. Какие ягоды собирала каждая сестра?Отношений может быть несколько. Это составные задачи на отношения, которые состоят из ряда простых задач. Примерами таких задач являются:Муха-цокотуха встречала гостей. Бабочка-лимонница пришел раньше, чем медведка, водомерка – позднее, чем златоглазка, медведка – раньше, чем златоглазка, слоник – позднее, чем водомерка. Кто из насекомых пришел в гости раньше всех? В каком порядке прибывали гости?Пять семей решили посетить музей и выстроились в очередь в кассу. Семья Митиных пришла позднее семьи Сергеевых, семья Тальковых – раньше семьи Костиных, семья Митиных – раньше семьи Тальковых, семья Юриных – позже семьи Костиных. Укажите порядок, в котором семьи стояли в очереди?Миша, Захар, Сережа, Коля, Толя принимали участие в соревнованиях по бегу. После команды на старт они побежали в следующем порядке – Толя впереди Сережи, Миша – позади Захара, Сережа – впереди Коли, Захар – следом за Колей. В какой последовательности бежали мальчики?В саду растут синеголовник, бадан, ломонос, тысячелистник, ежеголовник, космея. Бадан расцветает раньше тысячелистника, ломонос – позднее космеи, синеголовник – раньше ежеголовника, ломонос – раньше бадана, синеголовник – позднее тысячелистника. В каком порядке расцветали цветы?Задачи с некорректно сформулированными условиями предполагают недостаток данных для решения задачи, либо есть излишек таких данных. Это такие задачи как:Сергей живет выше, чем Иван, а Иван – ниже чем Катя. Кто живет выше – Катя или Сергей?Рыбак поймали налима, пескаря и окуня. Окунь был пойман раньше, чем налим, а пескарь – позднее, чем окунь. Кого рыбак поймал раньше – налима или пескаря?У детей есть три мяча – красный, черный и синий. Какой мяч тяжелее, если красный мяч тяжелее, чем черный, а синий – легче, чем красный?В классе учатся Миша, Вася и Оля. По росту на уроке физической культуры они стоят в шеренге один за другим. При этом Миша не ниже, чем Вася, Оля не выше, чем Вася, а Миша выше Оли. В каком порядке дети стоят на уроке физической культуры?Роза пахнет сильнее, чем фиалка, а фиалка – сильнее, чем ромашка. Какой цветок пахнет сильнее?Задания, для решения которых необходимо составлять схемы, таблицы очень полезны, т.к. часто проблема решения состоит в непонимании учащимися содержания задачи. Если развить навык изображения исходных данных в виде схем, таблиц, то решение таких заданий значительно упрощается. Примером заданий, которые решаются с помощью схем, можно считать:Валя и Ира носят фамилии Сергеева и Дмитриева. Какова фамилия каждой девочки, если нам известно, что Ира и Дмитриева являются соседками по лестничной клетке.Аня, Ваня и Нелли писали контрольную работу. Им стало известно, что в классе не были поставлены двойки, у всех детей разные оценки, причем Аня написала контрольную работу не на тройку, Нелли – не на тройку, но и не на пятерку. Какая оценка была поставлена каждой из девочек?Три поросенка – Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф построили себе домики. Один домик был соломенным, второй – из березовых веточек, третий – из глиняного кирпича. Если известно, что Ниф-Ниф не строил домик из веточек или камня, Наф-Наф не имел дело с веточками, то из чего поросята построили свои домики?Мама попросила Машу расфасовать купленные крупы по контейнерам. Куплены были рис, овсянка и перловка. Маша выполнила просьбу, но допустила ошибки. Мама, вернувшись с работы, нашла в контейнере с рисом перловку. Какая крупа была насыпана в контейнере с надписью «Перловка»?У короля было четыре дочери – Аврора, Тиана, Рапунцель, Мерида. Принцессы очень любили гулять. Они гуляли 2, 3, 4 и 5 часов в день. Аврора не могла гулять больше 2 часов, Мерида – гуляла 5 часов, Тиана – гуляла меньше, чем Рапунцель. Сколько гуляли каждая из девочек?К числу заданий, для решения которых необходимо применять таблицы, можно отнести:В школе работает три педагога – Василий Алексеевич, Светлана Дмитриевна, Карина Евгеньевна. Они преподают по два предмета – математику, физику, химию, историю, литературу и немецкий язык. Карина Евгеньевна самая молодая из педагогов. Педагог, который обучает химии старше педагога, который обучает истории. Учитель химии, физики и Светлана Дмитриевна занимаются спортом. Когда педагоги, обучающие литературе и немецкому языку поспорили, Карина Евгеньевна была участником этого спора. Светлана Дмитриевна не обучает математике и немецкому языку. Какой их педагогов преподает какой предмет?Катя, Богдана, Вика и Юля принимали участие в олимпиаде по физике. Катя не заняла первое или четвертое место. Богдана была на втором месте. Вика не стала последней. Какие места заняли девочки?Корней Васильевич, Дмитрий Алексеевич, Макар Евгеньевич, Сергей Петрович жили в одном городе. Они работали продавцом, врачом, инспектором дорожного движения, маляром. Известно, что Корней Васильевич и Дмитрий Алексеевич были соседями, ездили на работу вместе. Дмитрий Алексеевич был старше Макара Евгеньевича. Корней Васильевич часто обыгрывал Сергея Петровича в шашки. Продавец всегда ходил на работу пешком. Маляр жил рядом с врачом. Инспектор дорожного движения и маляр встречались однажды, когда маляр помог инспектору выбрать краску в магазине. Маляр старше врача и инспектора дорожного движения. Кто кем работает?Задания, для решения которых необходимо использовать графы – позволяют решить проблему, которая предполагает выбор нескольких способов решения. Примером таких заданий являются:В цветочном магазине было три вида цветов – бордовый, синий и желтый, а также два вида горшков – круглые и в форме ромба. Миша хочет выбрать цветов в подарок маме. Сколько вариантов выбора у него есть?Маша любит носить три футболки красного, синего, зеленого и оранжевого цвета и двое брюк – серого и синего цвета. Сколько вариантов одежды есть у Маши?В кафе есть такие супы как гороховый, щи и мясной с овощами, такие вторые блюда как котлета с картофельным пюре и рис с рыбой, такие напитки как чай и компот. Сколько вариантов обеда есть в данном кафе?Группы под руководством Васи, Коли и Миши собрались в туристический поход. Они могут пойти по маршруту А, Б и В. Сколько вариантов распределения групп по маршрутам может быть?В танцевальном клубе обучаются Сева, Вася, Лев, Маша, Белла и Лика. В каких комбинациях они могут танцевать танго, если Белла не хочет танцевать с Васей, Сева – с Машей? Таким образом, мы составили комплекс из 35 задачь, которые применяли в процессе проведения уроков.2.4. Оценка влияния математических заданий на уровень логического мышления испытуемыхПосле проведения занятий мы повторно провели тестирование с использованием тех же методик.Результаты тестирования по уровню развития логического мышления на контрольном этапе эксперимента представлены в таблице 5.Таблица 5– Результаты тестирования по уровню развития логического мышления на контрольном этапе экспериментаМетодикаЭкспериментальная группаКонтрольная группарМетодика «Игра в обмен»2,29±0,091,86±0,11p<0,01Методика «Игра в перестановки»2,32±0,092,00±0,09p<0,01Методика «Поиск недостающего»2,36±0,091,93±0,07p<0,01Методика «Расшифровка»2,39±0,091,75±0,12p<0,01Методика «Сравнение»2,43±0,101,68±0,13p<0,01Средний балл11,79±0,259,18±0,33p<0,01Итак, результаты по методике «Игра в обмен» составил 2,29±0,09 балла в экспериментальной группе и 1,86±0,11 балла в контрольной группе. Статистически значимых отличий при применении t-критерия Стьюдента для независимых выборок выявлено не было (р>0,05).Результаты по методике «Игра в перестановки» составил 2,32±0,09 балла в экспериментальной группе и 2,00±0,09 балла в контрольной группе. Статистически значимых отличий при применении t-критерия Стьюдента для независимых выборок выявлено не было (р>0,05).Результаты по методике «Поиск недостающего» составил 2,36±0,09 балла в экспериментальной группе и 1,93±0,07 балла в контрольной группе. Статистически значимых отличий при применении t-критерия Стьюдента для независимых выборок выявлено не было (р>0,05).Результаты по методике «Расшифровка» составил 2,39±0,09 балла в экспериментальной группе и 1,75±0,12 балла в контрольной группе. Статистически значимых отличий при применении t-критерия Стьюдента для независимых выборок выявлено не было (р>0,05).Результаты по методике «Сравнение» составил 2,43±0,10 балла в экспериментальной группе и 1,68±0,13 балла в контрольной группе. Статистически значимых отличий при применении t-критерия Стьюдента для независимых выборок выявлено не было (р>0,05).Общий средний балл в экспериментальной группе составил 11,79±0,25 баллов, в контрольной группе – 9,18±0,33 балла. Статистически значимых отличий при применении t-критерия Стьюдента для независимых выборок выявлено не было (р>0,05).Распределение обучающихся контрольной и экспериментальной группы по уровню развития логического мышления на констатирующем этапе эксперимента можно видеть на рисунке 16. Рисунок 15. Распределение обучающихся контрольной и экспериментальной группы по уровню развития логического мышления на констатирующем этапе эксперимента, % Как приказано на рисунке 2, в экспериментальной группе не было детей с низкими показателями. Доля пятиклассников в контрольной группе с низкими показателями составила 10,7%. Средний показатель имели 46,4% детей экспериментальной группы и 71,4% детей контрольной группы. Высокие показатели были у 53,6% детей экспериментальной группы и 17,9% детей контрольной группы. Динамика показателей представлена в таблице 6.Таблица 6 – Динамика показателей логического развития в экспериментальной и контрольной группахна констатирующем и контрольном этапах эксперимента МетодикаЭкспериментальная группаКонстатирующий этапКонтрольный этап%Методика «Игра в обмен»1,71±0,112,29±0,09+33,33Методика «Игра в перестановки»1,43±0,122,32±0,09+62,50Методика «Поиск недостающего»1,61±0,142,36±0,09+46,67Методика «Расшифровка»1,75±0,142,39±0,09+36,73Методика «Сравнение»1,82±0,142,43±0,10+33,33Средний балл8,32±0,5011,79±0,25+41,63МетодикаКонтрольная группаКонстатирующий этапКонтрольный этап%Методика «Игра в обмен»1,75±0,131,86±0,11+6,12Методика «Игра в перестановки»1,75±0,122,00±0,09+14,29Методика «Поиск недостающего»1,82±0,121,93±0,07+5,88Методика «Расшифровка»1,71±0,111,75±0,12+2,08Методика «Сравнение»1,64±0,121,68±0,13+2,17Средний балл8,68±0,429,18±0,33+5,76Как следует из таблицы, прирост был как в экспериментальной, так и в контрольной группе.Так, прирост результатов по методике «Игра в обмен» в экспериментальной группе составил 33,33%, в контрольной группе – 6,12%. По методике «Игра в перестановки» прирост» в экспериментальной группе составил 62,50%, в контрольной группе – 14,29%. По методике «Поиск недостающего» прирост» в экспериментальной группе составил 46,67%, в контрольной группе – 5,88%. По методике «Расшифровка» прирост» в экспериментальной группе составил 36,73%, в контрольной группе – 2,08%.По методике «Сравнение» прирост» в экспериментальной группе составил 33,33%, в контрольной группе – 2,17%. Средний балл вырос на 41,63% в экспериментальной группе и на 5,76% в контрольной группе.Таким образом, показатели в экспериментальной группе росли существенно, в контрольной группе – незначительно.Из проведенной работы по формированию логического мышления учащихся можно сделать следующие выводы:Эффективное развитие логического мышления достигается путем создания атмосферы уважения на уроках, поощрения инициативы и стимулирования творчества учащихся.Внедрение системы развивающих заданий способствует привлечению интереса к предмету и обеспечивает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивая мышление учащихся.Система развивающих заданий служит средством повышения уровня логического мышления и интеллекта учащихся, а также способствует повышению успеваемости и прививает интерес к предмету.Важно подбирать задания, которые имеют прямое отношение к теме, чтобы достичь стабильных положительных результатов. Не следует предлагать занимательные задачи в качестве заполнения досуга или развлечения. Включение таких задач в учебный процесс должно происходить естественным образом. Анализ показывает, что среди занимательных задач много таких, которые имеют чисто учебное назначение, но представлены в нестандартной или проблемной форме.ЗАКЛЮЧЕНИЕМышление представляет собой психический процесс, отражающий объективную реальность и является высшей стадией познания. Имея ряд сложных характеристик, мышление отражает действительность и опосредованно познает объективную реальность. Одной из особенностей мышления является взаимосвязь с решением задач, возникающих в процессе познания или практической деятельности.Подробнее, мышление проявляется в процессе решения задачи человеком. Этот процесс можно разделить на четыре этапа:Первый этап - возникновение вопроса, противоречия или проблемы.Второй этап - формулирование гипотезы, предложения или проекта решения задачи.Третий этап - применение решения.Четвертый этап - проверка решения на практике и его оценка.Успех в решении задачи зависит от правильного выполнения мыслительных операций и использования различных форм и видов мышления.К видам мышления относятся:Наглядно-действенное мышление.Наглядно-образное мышление.Абстрактно-логическое мышление.Абстрактно-логическое мышление совершается на базе абстрактных определений, которые фигурально не представляются. Абстрактно-логическое мышление не возникает на пустом месте, оно требует определенной почвы для развития, является закономерной стадией онтогенеза в части прогресса мыслительных процессов у человека. Возраст 10-14 лет является оптимальным с точки зрения развития логического мышления. Вместе с тем, анализ учебников показал, что доля заданий на логическое мышление в принятом едином учебнике Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. для 5 и 6 класса невысока и не превышает 5%. Доля таких заданий в учебнике Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон, которые могут применяться как вспомогательные в рамках внеурочной деятельности, составляет не более 10%. Как следствие, мы видим низкие показатели развития логического мышления у обучающихся 5 класса. В частности, на констатирующем этапе эксперимента в экспериментальной группе доля пятиклассников с низкими показателями составила 35,7%, в контрольной – 28,6%. Средний показатель имели 50,0% детей экспериментальной группы и 53,6% детей контрольной группы. Высокие показатели были у 14,3% детей экспериментальной группы и 17,9% детей контрольной группы. Мы использовали серию заданий на логическое мышление. После их использования в экспериментальной группе не было детей с низкими показателями. Доля пятиклассников в контрольной группе с низкими показателями составила 10,7%. Средний показатель имели 46,4% детей экспериментальной группы и 71,4% детей контрольной группы. Высокие показатели были у 53,6% детей экспериментальной группы и 17,9% детей контрольной группы. Из проведенной работы по формированию логического мышления учащихся можно сделать следующие выводы:Эффективное развитие логического мышления достигается путем создания атмосферы уважения на уроках, поощрения инициативы и стимулирования творчества учащихся.Внедрение системы развивающих заданий способствует привлечению интереса к предмету и обеспечивает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивая мышление учащихся.Система развивающих заданий служит средством повышения уровня логического мышления и интеллекта учащихся, а также способствует повышению успеваемости и прививает интерес к предмету.Важно подбирать задания, которые имеют прямое отношение к теме, чтобы достичь стабильных положительных результатов. Не следует предлагать занимательные задачи в качестве заполнения досуга или развлечения. Включение таких задач в учебный процесс должно происходить естественным образом. Анализ показывает, что среди занимательных задач много таких, которые имеют чисто учебное назначение, но представлены в нестандартной или проблемной форме.Таким образом, итоги исследования подтвердили продуктивность развития логического мышления через применение специальных заданий. Тот факт, что их нет в учебнике Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. говорит о необходимости разработки и внедрения дополнительных учебных пособий по данной тематике.Материалы, разработанные в ходе исследования, могут быть полезны учителям общеобразовательных школ для реализации обучении математике. Кроме этого данные материалы могут стать основой для разработки элективного курса для студентов, обучающимся по направлению 44.03.05 Педагогическое образования, профили «Математика. Информатика».Выполненное исследования не исчерпывает всех аспектов, связанных с изучением проблемы применения заданий на развитие логического мышления. Полученные результаты открывают возможность определения перспектив для нового исследования – конструирование системы заданий на развитие логического мышления для всех возрастных групп.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВОбухова Л.Ф. Возрастная психология: учебник для вузов / Л.Ф. Обухова. Москва: Юрайт, 2022. 460 с.Маклаков А.Г. Общая психология: учебник для вузов / А.Г. Маклаков. – СПб.: Питер, 2016. – 583 с.Ефимова Н.С. Основы общей психологии: учебник / Н.С. Ефимова. – М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2013. – 288 с.Шамис А.Л. Мышление: определение, типы, схемы процесса // Школьные технологии, 2012. №2. С. 3-14.Лящук Ю.О., Исаев А.Г. Логическое мышление как ключевой психический процесс // Образование и проблемы развития общества, 2020. № 1 (10). С. 106-110.Борзык С.В. Идея мышления: монография / С.В. Борзых. М.: ИНФРА-М, 2019. 118 с.Колобаев В.К., Синицына Т.А. Понятийно-логическое мышление vs клиповое мышление // Инновации. Наука. Образование, 2021. № 26. С. 1159-1164.Ибрагимова Э.Д., Гаврилина О.В. Формирование логического мышления как фактор повышения учебной компетенции младших школьников // Традиции и инновации в педагогике начальной школы. Сборник научных трудов, 2018. С. 115-118.Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.12.2010 года №1897 «Об утверждении Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования». URL: https://fgos.ru/fgos/fgos-ooo/ (дата обращения: 05.02.2024).Федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика (базовый уровень)» (для 10-11 классов образовательных организаций). URL: https://edsoo.ru/wp-content/uploads/2023/08/19_ФРП-Математика-10-11-классы_база.pdf (дата обращения: 05.02.2024).Шаповаленко И.В. Психология развития и возрастная психологи / И.В. Шаповаленко. 2-е изд., перераб. и доп М.: Юрайт, 2012. 567 с.Попова Е.В. Особенности мышления школьников 17-18 // Arctic Environmental Research, 2009. № 2. С. 13-20.Павловская Н.Г., Байкадамов Д.В. Особенности логического мышления современных подростков // Педагогическая перспектива, 2021. № 2. С. 30-35.Дулатова З.А., Лапшина Е.С. О развитии логического мышления учащихся средствами математики // Сибирский педагогический журнал, 2016. № 3. С. 7-12.Носкова Н.А. Развитие логического мышления на уроках математики // Воспитание и обучение: теория и практика. Сборник материалов Международной научно-практической конференции, 2018. С. 19-22.Чедырева А.В. Формирование логического мышления младших школьников на уроках математики // Педагог-профессионал в школе будущего, 2020. С. 243-247.Акопян К.А. Развитие логического мышления на уроках математики в начальной школе // Научные вести, 2021. №. 5 (34). С. 5-11.Оболдина Т.А. К вопросу о развитии логического мышления учащихся при обучении математике // Перспективы науки, 2021. № 12 (147). С. 310-313.Федеральный перечень учебников. URL: https://fpu.edu.ru/ (дата обращения: 16.02.2024).Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник: в 2 частях. Ч. 1 / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Просвещение, 2021. – 160 с.Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник: в 2 частях. Ч. 2 / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Просвещение, 2021. – 159 с.Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник: в 2 частях. Ч. 1 / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Просвещение, 2019. – 168 с.Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник: в 2 частях. Ч. 2 / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. В 2 частях. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – 2-е изд. – М.: Издательство «Ювента», 2011. – 176 с.Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. В 2 частях. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – 2-е изд. – М.: Издательство «Ювента», 2011. – 240 с.Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс. В 2 частях. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – 2-е изд. – М.: Издательство «Ювента», 2010. – 112 с.Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс. В 2 частях. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – 2-е изд. – М.: Издательство «Ювента», 2010. – 128 с.Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс. В 2 частях. Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – 2-е изд. – М.: Издательство «Ювента», 2010. – 176 с.Зак А.З. Развитие и диагностика мышления подростков и старшеклассников / А.З. Зак. – М.: Обнинск: ИГ-СОЦИН, 2010. – 350 с.