Косинус 60 градусов

Две стороны треугольника - 6 дм и 8 дм, а угол между ними равен \(\ 60^{\circ} \) . Найти третью сторону треугольника.

Введем следующие обозначения: пусть искомая сторона \(\ \mathrm{b}=6 \mathrm{дм} \), а сторона \(\ \mathrm{с}=8 \mathrm{дм} \) дм, угол между ними \(\ \alpha=60^{\circ} \) . По теореме о косинусоиде \(\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha \)

Замените в последнем равенстве заданные значения сторон и угла: \(\ a^{2}=6^{2}+8^{2}-2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} \)

Учитывая, что \(\ \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} \) получаем \(\ a^{2}=36+64-2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow a^{2}=52 \quad \Rightarrow \quad a=2 \sqrt{13}(d m) \)

ПРИМЕР 2

Основания прямоугольной трапеции составляют 12 см и 18 см, а острый угол трапеции равен \(\ 60^{\circ} \). Найдите большую сторону трапеции.

Давайте сделаем снимок (рис.2).

Рис. 2

Обозначим \(\ \mathrm{BC}=12 \mathrm{cm} \); \(\ A D=18 \mathrm{cm} \); \(\ \angle D=60^{\circ} \) . В прямоугольной трапеции \(\ \mathrm{ABCD} \) мы рисуем высоту \(\ \mathrm{CH} \) на большую базу. Тогда \(\ AH=BC \), \(\ AD=A H+HD \)

Отсюда \(\ H D=A D-A H ; \quad \Rightarrow \quad H D=A D-B C \)

Подставляя в последнее равенство заданные стороны основания трапеции, получим \(\ HD=18-12=6 d m \)

Затем рассмотрим правый треугольник \(\ \Delta C H D, \quad \angle H=90^{\circ} \) . По определению косинус представляет собой отношение смежной ноги к гипотенузе. затем \(\ \cos \angle D=\frac{H D}{C D} \quad \Rightarrow \quad C D=\frac{H D}{\cos \angle D} \quad \Rightarrow \quad C D=\frac{6}{\cos 60^{\circ}} \)

учитывая, что \(\ \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} \) мы наконец получаем \(\ C D=6 \div \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad C D=12(см) \)