Угол между векторами
Пусть даны два произвольных ненулевых вектора \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \). Мы приведем их к общему началу, для этого откладываем с определенной точки \(\ O \) векторы \(\ \overline{O A} \) и \(\ \overline{O B} \), равные соответственно заданным векторам \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) (рис. 1).
Определение
Угол между векторами
\(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) называется углом. \(\
\phi=\angle A O B=(\tilde{a}, \overline{b})
\)
Угол между векторами направления движения составляет \(\
0^{\circ}
\), а между противоположными направлениями \(\
-180^{\circ}
\).
Определение
Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними составляет \(\
90^{\circ}
\).
Угол между двумя векторами \(\
\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right), \overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)
\) учитывая их координаты, рассчитывается по формуле:
\(\
\cos (\overline{a}, \overline{b})=\frac{(\overline{a} ; \hat{b})}{|\overline{a}| \cdot|\overline{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}
\)
Пример
Известно, что скалярное произведение двух векторов \(\
(\overline{a} ; \overline{b})=2
\) и их длины \(\
|\overline{a}|=2,|\overline{b}|=2
\). Найти угол между векторами \(\
\overline{a}
\) и \(\
\overline{b}
\) .
Косинус необходимого угла:
\(\
\cos (\overline{a}, \overline{b})=\frac{(\tilde{a} ; \tilde{b})}{|\vec{a}| \cdot|b|}=\frac{2}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} \Rightarrow(\overline{a}, \overline{b})=60^{\circ}
\)
Пример
Найти угол между векторами \(\
\overline{a}=(1 ; 3)
\) и \(\
\overline{b}=(2 ; 1)
\)
Косинус необходимого угла:
\(\
\cos (\overline{a}, \overline{b})=\frac{1 \cdot 2+3 \cdot 1}{\sqrt{1^{2}+3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
\(\
(\overline{a}, \hat{b})=\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=45^{\circ}
\)